Ақтөбе қаласы № 64 жалпы білім беретін орта мектебінің 6 класс оқушылары
Смагул Тумар Нурланкызы және Максут Дамир Айбекұлы
Жетекшісі: Математика пәні мұғалімі Тлеуова Дания Алтоновна
Қазіргі көптеген мектеп оқушыларына болашақта есептеу техникасы мен автоматтық құралдармен жабдықталған цехтарда, кәсіпорындарда еңбек етуге тура келетіні сөзсіз. Жастарда жаңа техниканы басқару үшін қажетті әзірлік бар ма? Олай болса, орта мектепті оқып жүргеннің өзінде-ақ оқушылар азды-көпті шығармашыл, іздемпаз болуы шарт. Мектеп оқушысының алдында тұрған міндеті-қазіргі заманғы математикалық формальды логика -кибернитикалық теорияның негізі екенін түсініп, білуі тиіс.
Бірақ дәстүрлі математикалық логика пәнін білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын, өйткені бүгінгі күні ғылыми – технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып, кез-келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы – калькуляторлардың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.
Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез-келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бермеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.
Зерттеудің мақсаты — осы мәселерді шешудің қандай математикалық жолдары бар екендігіне, оларды орындау үшін қандай мәселелерді шешуге тура келетіндігіне, ол үшін қандай математикалық құбылыстар болатындығын көрсету.
Зерттеудің міндеттері:
- Аталған мәселелер туралы оқушыларға түсінікті болатындай ақпараттық мағлұматтар беру;
- математикалық есептеудің кейбір әдістерін зерттеуді жүзеге асыруда әр түрлі есептердің арасында үнемі байланыс болатындығын зерттеу;
- логикалық ойлау қабілетін дамытатын, шапшаң есептеудің кейбір әдістерін қарастыру;
- кейбір бүтін сандардың бөлінгіштігін қарастыру;
- ескілікті халық есептерді шешу жолдарын көрсету;
Зерттеу обьектісі – кейбірсандардың қызықты ерекшеліктері;
Зерттеу пәні – шапшаң ойлау қабілетін қалыптастыруға бағытталған тез есептеу және сандардың бөлінгіштік белгілерінің ұтымды жолдарын ұсыну;
Зерттеу әдістері – зерттеу жүргізу барысында логикалық ойлау, талдау, математикалық модельдеу әдістері қолданылды.
Зерттеудің жаңалығы – зерттеу жұмысында тез есептеу әдістерін, натурал сандарды қосу, азайту, көбейту және бөлуде жылдам есептеу әдістерін, кейбір сандардың бөлінгіштік белгілерін пайдалану жолдары ұсынылды;
Зерттеудің теориялық және практикалық мәні — оқушының ақыл-ойын дамытып, тәжірибеде шапшаң және оңтайлы шешім қабылдау қабілетін қалыптастыру. Бұл қарастырылған әдістерді олимпиадалар мен сайыстарда қолдануға болады.
Лезде көбейту әдістері
- Санның квадратын табу. Мысалы, 9882 санын есептеу былайша іске асырылады.
988•988= (988+12) • (988— 12) +122= 1000 • 976+ 144 = = 976 144.
Есептеушінің бұл жағдайда мына алгебралық түрлендіруді пайдаланатынын аңғару оңай:
а2 = а2-b2 + b2=(а + b) (а-b)+b2.
Біз іс жүзінде бұл формуланы ауызша есептеулер үшін ойдағыдай пайдалана аламыз.
Мысалы: 272=(27 + 3) (27-3)+32 = 729,
632 = 66•60 + 32 = 3969,
182 = 20•16 + 22 = 324,
5-пен аяқталатын сандардың квадрат дәрежесін тез табу үшін, мына тәсіл өте ыңғайлы: 352 ; 3•4=12. Жауабы 1225.
652 ; 6•7 = 42. Жауабы 4225.
752 ; 7•8 = 56. Жауабы 5625.
Бұл ереже бойынша ондықтар саны өзінен бір бірлікке артық санға көбейтіліп, осы көбейтіндіге 25 саны тіркеліп жазылады.
Бұл әдіс мынаған негізделген:
Егер ондықтар саны а болса, онда барлық санды былай жазьш көрсетуге болады: 10a+5.
- Натурал санды 11-ге тез көбейту әдісі.
11 санына көбейту үшін көбейтілетін санның соңғы цифрын жазу керек, одан кейін екеуінің қосындысынан шыққан санды, соңынан бірінші санның өзін жазу керек.
Мысалы:54 a)4-ті жазу ә) 5+4 б)5-ті жазу
Тағы сол сияқты 124(2+4)
Егер екі санның қосындысы 9-дан артық болса,онда шыққан санның бірлік разрядын жазып,ондық разрядқа 1-ді қосу керек.
- 9, 99, 999 сандарына көбейту.
9,99,999 сандарына көбейту үшін көбейткіштің соңынан қанша тоғыз болса, сонша нольді қойып, одан шыққан саннан сол көбейгіштің өзін азайту керек.
Мысалы:289*9=2860-286=2574
23*99=2300-23=2277
18*999=18000-18=17982
Жобамыздың келесі бөлімі: Кейбір бүтін сандарының бөлінгіштігі.
Натурал сандардың бөлінгіштігі
Берілген натурал санның ең үлкен бөлгіші сол санның өзіне тең.
Кез-келген натурал санның шексіз көп еселігі бар.
Берілген натурал санның ең кіші еселігі сол санның өзіне тең
Натурал сан 1-дің бір ғана бөлгіші бар, ол сол санның өзі 1 саны. 1 саны жай сандар тобына да, құрама сандар тобына да жатпайды.
Жай сандар қатарындағы екі тізбектес және айырмасы 2-ге тең сандар егіз сандар деп аталады.
Мысалы 3 пен 5, 5 пен 7,11 мен 13 сандары –егіз сандар қатарына жатады.
2,3,4,5,6,9,10 сандарында бөліну белгілерін мектеп курсынан білеміз.
Мектеп математикасында қарастырылмайтын бөлінгіштік белгілеріне тоқталғым келіп тұр.
Мысалы, 13-ке бөлінгіштік белгісі.
Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға бөлеміз. Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің қосындысын тауып, сол қосындылардың айырмасы 13- ке бөлінсе, онда берілген сан 13-ке бөлінеді.
Мысалы, 91182091 санын тексерейік: 911/820/91, бұдан 911+91=1002 , 1002-820=182 , 182 13-ке бөлінеді, ендеше 91182091 саны да 13-ке бөлінеді.
Жай сандардың саны
Тізбектес құрама сандардың мейлінше ұзақ тізбектерінің болатындығы жай сандар қатарының шексіз екені Шынымен рас па деген күмән тудырады. Сондықтан да жай сандар қатарының шексіз екендігінің дәлелдемееін келтіргеніміз бұл жерде артық болмас.
Бұл дәлелдеме ежелгі грек математигі Евклидке тән және оның әйгілі «Бастамалар» деген кітабына енген. Ол дәлелдеу «қарама-қарсы жорулар» қатарына жатады. Жай сандар қатары шектеулі деп ұйғарайық та, бұл қатардағы ең соңғы жай санды N әрпімен белгілеп көбейтінді құрайық:
1 •2 •3•4•5•6•7•…• N = N!
және оған 1-ді қосайық, сонда мынау шығады:
N! + 1.
Бұл сан — бүтін сан болғандықтан, оның ең болмағанда бір жай көбейткіш болуы, яғни ең болмағанда бір жай санға бөлінуі тиіс. Ұйғаруымыз бойынша, барлық жай сандар N -нен артық емес, N! +1 саны болса, N -нен кіші немесе оған тең бірде-бір санға қалдықсыз бөлінбейді, әр жолы 1 қалдық қалады.
Сонымен, жай сандар қатарын шектеулі деп ұйғаруға болмайды екен, мұндай жорамал қарама-қайшылыққа әкеп соқтырады. Сондықтан біз натурал сандар қатарынан тізбектес құрама сандардың қандай тізбегін кездестірсек те, одан кейін тағы да шексіз көп жай сандар жиыны табылатынына көзіміз жетуі керек.
Ескілікті халық есептері
«Құтты қазықтар» есебі
Бір қарияның ер жеткен үш ұлы болыпты. Қартайған шағында малын балаларына еншіге бөліп бергісі келіп,он екі жерге қаз қатар қазық қағады да, бірінші қазыққа бір қой, екіншісіне- екі қой, үшіншісіне- үш қой, осы ретпен ең соңғы он екінші қазыққа он екі қой байлайды.
- Ал, балаларым мына қазықтардың бәрі құтты. Осында байланған қойларды үшеуін тең бөліп алындар, — дейді ол балаларына.
- Қазықтардағы қойлар саны бірдей емес қой, сонда қалай тең бөліп аламыз? – деп қалды үлкен ұлы.
- Әрқайсысының төрт қазықтағы қойды ағытып алсаңдар, еншілерің тепе- тең болады – дейді қария.
Жауабы: 26 қой.
Сандар сырына зерттеуді жүзеге асыруда әр түрлі есептердің арасында үнемі байланыс болатындығына көз жеткіздік.
Әр баланың мақсаты – өзінің білім деңгейін көтеру, сабаққа деген қызығушылығын арттыру, іздену. Осы мақсатты іске асыру барысындағы міндетіміз сол тақырыпты игерумен қатар, кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу, ойлау қабілетімізді машықтыру.
Іс жүзінде осы тәсілді игерген, қисынды ойлауы мықты дамыған әрбір оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз-ақ кез-келген санның квадратын еш қиналмай табатыны сөзсіз.
Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістеріне мүмкіндігінше тоқталдық. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеу, ауызша жаттығуларға уақыт бөліп отырғаны жөн. Сондықтан біз өзіміздің шығармашылық жобамызды жан-жақты ізденіп, теориялық білімімізді өмірмен ұштастырып, шапшаң есептеуді жүзеге асыруды әр түрлі есептерді шығару арқылы дәлелдеуге тырыстық.
Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан-жақты тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық білімімізді көтеру үшін оқушылардың әрқайсысының үлкен ізденісте жүруі шарт, яғни ғылыми жобамызды басқа оқушылар керегіне қолданады деп ойлаймыз.
Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы — білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанмен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім-ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтан да, еліміздің тұңғыш президенті Н.Ә.Назарбаевтың білім мен ғылымның дамуына баса назар аударуы, оның үнемі өз бақылауында ұстауы – соның айқын дәлелі.
