Параметрлі теңдеулер

Атырау облысы Индер ауданы С.Сейфуллин атындағы орта мектебінің 11 сынып оқушысы

Серикова Арайлымның «Параметрге тәуелді теңдеулерді шешудің тәсілдері»

тақырыбындағы шығармашылық жұмысы

Жетекшісі: Супыгалиева Канзиба Дайновна

Тақырыбы: Параметрлі теңдеулер. Параметрлі теңдеудің анықтамасы.

¦(a, b, c, …, k , x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

Мұндағы a, b, c, …, k, x –ауыспалы өлшемдер

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0, айнымалы мәндерінің кез келген жүйесі a, b, c, …,k , x айнымалылардың болуы мүмкін мәндерінің жүйесі деп аталады. А – болуы мүмкін а мәндерінің көбейтіндісі, B – барлық b мәндерінің көбейтіндісі, т.б. болсын. Демек аÎА, bÎB, …, xÎX. Егер әрбір A, B, C, …, K көбейтінділердің барлығынан сәйкесінше a, b, c, …, k бір мәннен алып (1) теңдеуіне орнататын болсақ, онда х-ке байланысты, демек бір белгісізі бар теңдеу аламыз.Есеп шығару барысында тұрақты болып саналатын a, b, c, …, k айнымалылары параметрлер деп, ал теңдеу – параметрлі теңдеу деп аталады. Параметрлер латын алфавитінің алғашқы a, b, c, d, …, k, l, m, n әріптерімен, ал белгісіздер x, y,z әріптерімен белгіленеді.Параметрі бар есепті шығару – бұл параметрдің қандай мәндерінде шешімдер бар және олардың қандай екенін көрсету деген сөз.

Параметрі бар екі теңдеулер тең дәрежелі деп аталады, егер:

а) олар параметрлердің бірдей мәндерінде мәнді болса;

б) бірінші теңдеудің әрбір шешімі екіншінің шешімі болған кезде және керісінше. Параметрлі теңдеулерді шешудің негізгі принципі: параметрдің өзгеру барысында шыққан теңдеулер бірдей тәсілмен шешілетіндей параметрдің өзгеру облысын аралықтарға бөлу қажет. Әрбір жеке аралықта параметр арқылы өрнектелген теңдеудің түбірлері табылады.Ол үшін санды коэффиценттермен берілген теңдеулерді шешу әдістері қолданылады.

• • теңдеулерді шешуде, есептің шартында параметрге ешқандай шектеу қойылмаса, онда оның барлық мүмкін мәндерін қарастыру қажет. Параметрі бар есептерді күрделі есептердің қатарына жатқызуға болады. Ең қарапайым мысалдарды қарастыру арқылы параметрі бар есептерді шығару тәсілдерімен таныстым.
  • Параметрлі теңдеулерді шешудің тиімді жолдары.

Параметрлі теңдеулерді формула бойынша шешу.

1.ах=1 теңдеуін шешу керек. Мұнда х – айнымалы, a – параметр. 1) егер а =0 болса, теңдеудің шешімі жоқ, 2) егер а≠0 болса, x= 1a

2.a2-4x=a+2 теңдеуін шешу керек, яғни х – тің мәнін табу керек. Мұнда х – айнымалы, a – параметр, a∈R. Егер a=2 болса, 4-4x=2+2⇒0x=4⇒ шешімі жоқ; егер a=-2 болса, 4-4x=-2+2⇒0x=0⇒ х-кез келген сан; егер a≠±2 болса, x=a+2a+2a-2=1a-2⇒x=1a-2

Жауабы: a≠±2 болса, x=1a-2

3.ax2-4x+3=0 квадрат теңдеуін шешсек. а-параметр егер а=0 болса

-4х=-3⇒х=3/4, егер а≠0 болса х1=2+4-3аа ; х2=2-4-3аа сонымен егер а=0 болса, онда х=34 ;егер <43 болса, онда

х1,2=2±4-3аа;егер а=43 болса, онда х=32;егер а>43 болғанда түбірі жоқ

4.x-bx+2=0 теңдеуін шешу керек, яғни х-ті табу керек. х-айнымалы, b-параметр, b∈R. Бөлшектің анықталу облысы: x+2≠0, ендеше, x≠-2. Егер x-b=0 болса, бөлшек нөлге тең болады; осыдан x=b. Жауабы: b≠-2 болса, x=b болады;

5.x2-9+ax+3=0 теңдеуін шешу керек, яғни х-ті табу керек. Бұл теңдеу

x2-9=0

ax+3=0 жүйесімен мәндес.

Осыдан x2-9=0
ax+3=0 ⇒ a≠0 болса, 2-теңдеуден x=-3. Бұл шешім бүкіл жүйенің де шешімі болады. Егер a=0 болса, онда 2-теңдеуден 0x-3=0⇒x – кез келген сан. Ал 1-теңдеудің шешімі x=±3, ендеше, жүйенің шешімі де x=±3 болады.Жауабы: a≠0 болса, x=3; a=0 болса, x=±3.

6.( x-3)√x-b=0 теңдеуін шеш. Теңдеу x-b≥0 жүйесімен мәндес.

x=3

x=b

x=b түбірі кез келген b үшін орындалады, ал x=3 түбірі b≤3 үшін ғана орындалады.

Жауабы: b<3 болса, x=b немесе x=3 болады; b=3 болса, x=3; b>3 болса x=b.

Крамер ережесі

ax+by=c

a1x+b1y=c1

∆= aba1b1=ab1-a1b∆x= cbc1b1=cb1-c1b

∆y= aca1c1=ac1-a1c x=∆x∆

y=ΔyΔ ∆≠0

Крамер ережесін параметрі бар теңдеулер жүйесін шешуге пайдалану

Мына теңдеулер жүйесін крамер ережесін пайдаланып шешелік:

(m-4)x-2y=3

x-(m-3)y=m-2

Әуелі әрбір теңдеуді жеке –жеке зерттейміз 1). (m-4)x-2y=3

m-нің кез-келген мәнінде теңдік дұрыс болуы үшін мына шарт қажетті және жеткілікті х=0 -2y=3 y=-1,5 А(0;-1,5)

-4х-2у-3=0

Берілген түзу m-нің қандай мәнінде де А нүктесі арқылы өтеді. Екінші теңдеуді зерттейік:

2) x-(m-3)y=m-2 y+1=0 y=-1 y=-1

x-my-3y=m-2 x+3y+2=0 x-3+2=0 x=1

-m(y+1)+x+3y+2=0 B(1;-1)

Берілген түзу m-нің кез-келген мәнінде де В нүктесі арқылы өтеді. Бұл түзулер m-нің мәніне байланысты қиылысуы, паралель болуы немесе беттесуі мүмкін. Осы түзулердің орналасуын қарастырайық.

Енді параметрлі теңдеулер жүйесін Крамер ережесіне сүйеніп отырып шешсек:

(m-4)x-2y=3

x-(m-3)y=m-2

∆= m-4-21-(m-3) = -(m-4)(m-3)+2= -(m2-7m+12)+2= -m2+7m-10;

-m2+7m-10 ≠0 ; m≠2 , m≠5

∆x= 3-2(m-2-(m-3)= -3(m-3)+2(m-2) = -3m+9+2m-4 = -m+5

∆y=m-4 31 m-2=m-3m-2-3=m2-2m-4m+8-3=m2-6m+5

x=-m+5-m2+7m-10y=m2-6m+5-m2+7m-10 қысқартып мына теңдікке келеміз

x=1m-2y=m-12-m m≠2 m≠5

m=2 ,болсын

(m-4) x-2y=3

x-(m-3)y=m-2

(2-4)x-2y=3 -2x-2y=3 : (-2) x+y=-1,5

x+y=0 ⇒ x+y=0 ⇒ x+y=0 онда түзулер параллель болады

2)егер m=5 болса, онда түзулер беттеседі

x-2y=3

x-2y=3

m параметріне тәуелді емес жағдайда х пен у тәуелділігі бола ма?

x=1m-2y=m-12-m ⇒ m-2 =1x ⇒ m =1x +2 m-нің орнына қойсақ ,

y=-x-1 теңдеуін аламыз. Олай болса m-нің кез-келген мәнінде түзулердің барлық қиылысу нүктелері у=-х-1 теңдеуімен берілген түзуге тиісті.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1.«Математика» Қазақстан мектебінде ғылыми –әдістемелік журнал №2(8) – 2007

2.А.Әбілқасымова, В.Корчевский «Алгебра және анализ бастамалары»

11сынып Алматы «Мектеп» баспасы 2011

3.Н.Я.Виленкин, «Алгебра и математический анализ»

Москва «Просвещение»

.