Жаңа сабақтар

Математическое моделирование экономических и с оциальных процессов

Атырау облысы Атырау қаласы

Облыстық дарынды балалар мектеп-интернатының

8 сынып оқушысы Ергалиева Жібек

Жетекшісі: Курмангалиева Светлана Хайрлыевна

Тема: «Составление сборника задач, решаемых

с помощью кругов Эйлера»

Направление: “Математическое моделирование экономических и социальных процессов”

Секция: Математика

Абстракт

Цель исследования: познакомится с кругами Эйлера – Венна,научиться применять способ решения задач с помощью кругов Эйлераи составить задачи практического содержания.

Гипотеза: применение кругов Эйлера позволяет решать задачи, которые обычным путём разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Этапы, процедуры, исследования:

  1. Анализ понятий, связанных с кругами Эйлера.
  2. Анализ роли кругов Эйлера в развитии математики.
  3. Разработка задач практического содержания.

Методика эксперимента:

  1. Изучение и анализ философской, методической и научной литературы по теме исследования;
  2. Наблюдение за уровнем вычисления кругов Эйлера во всем мире;
  3. Составление задач, решаемых с помощью кругов Эйлера.

Новизна исследования и степень самостоятельности автора: был проведён анализ статей, выступлений, теоретического материала в области математики и предложены задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера практического содержания.

Результаты работы и выводы: диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея возникла на основе алгебры логики.

Области практического использования: при решении задач школьного курса физики, математики реализовывать подход, ориентированный по последовательное развитие у учащихся математически мыслить.

Содержание

Введение ………………………………………………………………. 3-4
Глава 1. История возникновения понятия «Круги Эйлера»……………………………………………………… 5-6
Глава 2. Теория множеств…………………………………………….. 7-8
2.1.Что такое множество? …………………………………. 7
2.2.Действия над множествами……………………………. 7-8
Глава 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера………………… 9-18
Заключение ………………………………………………………………. 19
Литература ……………………………………………………………… 20

Введение

Все, что познается, имеет число,

ибо невозможно ни понять ничего,

ни познать без него.

Пифагор

На самом деле, решать логические задачи очень увлекательно. Есть люди, для которых решение логической задачи — увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч солнца сразу освещает все умные построения, и к правильному ответу они приходят необыкновенно быстро. Замечательно, что при этом не могут объяснить, как пришли к решению. А некоторые могут потратить огромное количество времени, но не могут решить, и всё-таки придут к помощи окружающих.

Логические задачи — это обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, конечно же, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по дающимся свойствам.

Существует огромное количество приемов, которыми пользуются при решении текстовых логических задач. Бывает, очень часто, решение помогает найти рисунок. При использовании рисунка решение задачи становится простым и наглядным. А изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.

Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея возникла на основе алгебры логики.

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все 2n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.[1]

Цель моего исследования: познакомится с кругами Эйлера – Венна,научиться применять способ решения задач с помощью кругов Эйлераи составить задачи практического содержания.

Этапы, исследования:

  1. Анализ понятий, связанных с кругами Эйлера.
  2. Анализ роли кругов Эйлера в развитии математики.
  3. Разработка задач практического содержания.

Новизна исследования и степень самостоятельности автора: был проведён анализ статей, выступлений, теоретического материала в области математики и предложены задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера практического содержания.

Результаты работы и выводы: диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея возникла на основе алгебры логики.

Области практического использования: при решении задач школьного курса физики, математики реализовывать подход, ориентированный по последовательное развитие у учащихся математически мыслить.

Глава 1. История возникновения понятия «Круги Эйлера».

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно получить наглядное изображение отношений между множествами. Чаще «круги» называют Диаграммами Эйлера — Венна.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (может другими моделями). Но непересекающиеся множества изображены непересекающимися фигурами, а подмножества изображены вложенными фигурами. «Круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые другие фигуры.

Как пример, диаграмма может показывать, что множество A является подмножеством B, а множество B не пересекается с множеством C.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. Вильгельм использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но он предпочитал использовать линейные схемы.[3]

Но точнее и подробнее описал и развил этот метод сам Леонард Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях британского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Который предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей Аристотеля.[3,7]

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало, действительно, достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Его называют идеальным математиком 18 века.

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн — британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.[4]

Глава 2. Теория множеств

2.1. Что такое множество?

Мно́жество — одно из самых важных понятий математики; это объект, который сам является совокупностью каких-либо объектов, которых называют элементами этого множества. Изучением общих свойств множеств занимается теория множеств, а еще некоторые разделы математики и математической логики.

Множество может быть упорядоченным и неупорядоченным, пустым и непустым, имеющим конец и бесконечным. Бесконечное множество может быть как и счётным, так и несчётным.[6]

2.2. Действия над множествами

A и B- произвольные множества. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например: если A={2,5,6,8}, B={1,3,4,7}, то A∪B= {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например: A={2,8,5,9}, B={4,6,8,2}, то А ∩ В={2,8}.

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Например: A={5,6,7,8}, B={7,8,9}, то AB={5,6}.[6]

Глава 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задача №1.

Из 63 школьников 32 коллекционируют монеты, 36 собирают фигурки, а 17 — и монеты, и фигурки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Решение:

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 32 и 36, то получится больше 63. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы учли дважды, то есть именно тех, которые собирают и монеты, и фигурки.

Чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме:

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг М изображает школьников, собирающих монеты (всего их 32), а круг Ф — школьников, собирающих фигурки (всего их 36).

В пересечении кругов М и Ф стоит число 17 — это те, кто собирает и монеты, и фигурки.

Значит, только монеты собирает 32 — 17 = 15 человек, только фигурки собирает 36 — 17 = 19 человек.

Всего монеты и фигурки собирает 15 +19 + 17 = 51 человек.

Остаётся 63 — 51 = 12 человек, не увлечённых коллекционированием.

«12» можно вписать в свободное поле круга.

Ответ: 12 человек.

Задача №2.

В классе 16 девочек. Из них 11 человек занимается шитьем и 10 танцами. Сколько девочек занимается и тем, и другим?

Решение:

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера . Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей .

Пусть всеми видами спорта занимаются х мальчиков.

Тогда только шитьем занимаются (11-y) девочек, а только танцами (10-y) девочек.

Составим уравнение: 11-y+ y+ 10-х=16, откуда y=5

Ответ: 5 человек.

Задача № 3.

В группе из 100 туристов, приехавших на экскурсию в Атырау, 72 хотят посетить Краеведческий музей, 50 – музей восковых фигур, 32 хотят посетить оба музея, остальные в музеи ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в музей?

Решение:

Только краеведческий музей посетят: 72-32=40 туристов;

только музей восковых фигур посетят: 50-32=18 туристов;

100-(40+18+32)=10 туристов не собираются идти в музеи.

Ответ: 10 туристов не собираются идти в музеи.

Задача №4.

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 16 ребят смотрели фильм «Граф Дракула», 12 человек – фильм «Человек-паук», из них 7 смотрели и «Граф Дракула», и «Человек-паук». Сколько человек смотрели только фильм «Человек-паук»?

Решение:

Чертим два множества таким образом: 7 человек, которые смотрели фильмы «Чучело» и «Выше неба», помещаем в пересечение множеств.

16 – 7 = 9 – человек, которые смотрели только «Граф Дракула».

12– 7 = 5 – человек, которые смотрели только «Человек-паук».

Получаем:

Ответ: 5 человек смотрели только «Человек-паук».

Задача №5.

В туристической группе из 200 человек 175 человек знают французский язык, 165 человек — китайский язык, а 110 человек — не знают ни французского, ни китайского языка. Сколько туристов знают два языка?

Решение:

Изобразим условие задачи в виде кругов Эйлера.

Легко видеть, что 90 туристов (200-110) знают хотя бы один язык;

Пусть х туристов знают и китайский , и французский языки.

Тогда (165-х) туристов знают только китайский, а (175-х) человек только французский.

Получим уравнение 165-х+175-х+х=90, откуда х=250 – туристов знают оба языка.

Ответ: 250 туристов.

Задача №6.

В 5 классе нашей школы 23, в 6 классе – 17, в 7 классе – 24 ребят. Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 5 человека. Каждые две секции посещают 10 человек. Сколько человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни на какой спортивный кружок?

Решение:

Если на все три кружка ходят 5 ученика, а на каждые два – 10 человек, то две секции с 5 и 6 класса, с 6 и 7 класса, с 5 и 7 класса посещают по 5 человек.

Получаем 5+5+5=15 пятиклассников посещают кружки, 23-15=8 человек не ходят ни на какой кружков.

Рассуждая также, из шестиклассников 17-15=2 ученика никуда не ходя, а из семиклассников – 24-15=9 человек.

Ответ: 9 человек.

Задача №7.

В группе 64 человек. 33 любят заниматься физикой, 27 любят заниматься химией, а 18 — физикой, и химией. Остальных не интересует ни один предмет. Скольких человек не интересует ни один предмет?

Решение:

Если сложить 33 и 37, то получится больше 64.

Это объясняется тем, что некоторых школьников мы учли дважды, то есть именно тех, которые собирают и монеты, и фигурки.

Чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме:

На этой схеме большой круг означает всех людей, о которых идёт речь.

Круг Ф изображает людей, занимающихся физикой (всего их 33), а круг Х- людей, занимающихся химией (всего их 37).

В пересечении кругов Ф и Х стоит число 18 — это те, кто занимается и физикой, и химией.

Значит, только физикой собирает 33 — 18 = 15 человек, только химией 37 – 18 = 19 человек.

Всего химией и физикой занимаются 15 +19 + 18 = 52 человек.

Остаётся 64 – 52 = 12 человек, не занимающихся предметами.

«12» можно вписать в свободное поле круга.

Ответ: 12 человек

Задача №8.

При опросе 100 учеников 7-х классов выяснилось, что у 78 человек есть электронная книга, у 85 — смартфон, а у 8 учеников нет ни книги, ни смартфона. У скольких учеников есть и электронная книга, и смартфон?

Решение:

Имеют электронную книгу и смартфоны:

100 — 8 = 92 ученика;

имеют только смартфон 92 — 78 = 14 учеников 7-х классов;

имеют только электронную книгу 92 — 85 = 7 учеников;

имеют и электронную книгу, и смартфон 92 — (14+7)=71 ученик.

Ответ: 71 человек.

Задача №9.

В трёх восьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются танцами, 32 посещают дополнительные курсы, 22 увлекаются спортом. В кружке танцев 10 ребят из дополнительных курсов, в группе дополнительных курсов 6 спортсменов, в кружке танцев 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и кружок танцев и дополнительные курсы.. Сколько ребят не посещают дополнительные курсы, не увлекаются спортом и не занимаются в кружке танцев? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

В круге Т — 27 ребят, в круге Д — 32 человека, в круге С — 22 ученика.

Те 10 ребят из кружка танцев, которые посещают дополнительные курсы, окажутся в общей части кругов Т и Д.

Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не посещающих курсов и 6-3=3, не посещающих кружок танцев.

Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают дополнительные курсы или кружок танцев, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 – не посещают дополнительные курсы, не занимаются в кружке танцев, не увлекаются спортом.

Ответ:11 человек.

Задача №10.

На полке стояло 27 книг. Из них 5 прочитал и Саша, и Георгий. Настя прочитала 8 книг, которых не читали ни Саша, ни Георгий, и три книги, которые читал Саша. Всего Саша прочитал 12 книг. Сколько книг прочитал Георгий?

Решение:

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Саша прочитал 12 книг, из них 5 книги читал Рон и 3 книги – Настя, то 12 – 5 – 3 = 4 – книг прочитал только Саша.

Следовательно, 27 – 8 – 3 – 5 – 4= 7 – книг прочитал Георгий.

Ответ. 7 книг прочитал Георгий.

Заключение.

В математике логические задачи играют особую роль. Решение таких задач развивают математическое развитие. Также отличаются они от других задач тем, что для решения особо не требуется запас каких-то специальных знаний, нужна лишь быстрая сообразительность. Одна из характерных черт логической задачи в том, что решая ее можно, получив нужную информацию, извлечь (выявить) содержащиеся в ней новые знания.

Во время работы над этой темой я изучила теоретический материал по теме «Круги Эйлера» и пришла к следующим выводам:

  1. Круги Эйлера – очень занимательная и интересная вещь, а ещё полезный метод решения задач. Наличие фундаментальных знаний по этой теме помогает не только во время решения абстрактных задач на школьных уроках, но и при наступлении довольно житейских проблем. Например, во время выбора будущей профессии.
  2. Применение кругов Эйлера (или диаграмм Эйлера-Венна) позволяет наглядно увидеть решение задач, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Таким образом, я доказала свою гипотезу. Автор этого метода — ученый Леонард Эйлер, говорил, что: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».[5] Я согласна на все 100% с его словами. Диаграмма Эйлера-Венна помогают мимолетно решить даже ужасно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

В данной работе я, самостоятельно, составила такие задачи, в решениях которых, можно применить круги Эйлера-Венна. Это очень кропотливая работа, но увлекательная. Эти круги можно применять на всех уроках школы: на уроках казахского языка и литературы, русского языка и литературы, географии, биологии, химии, английского языка, истории и даже в самопознании.

Литература.

1.Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. [Текст]/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.

  1. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.[Текст] / А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.
  • Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей [Текст]/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.

  • Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.

  • Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

  • Математика: 6 класс: Дидакт. материалы для общеобразова. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.- М.: Дрофа, 1996.

  • Интернет-ресурс:

  • 1) http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;

    2) http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;

    3) http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html;

    Добавить комментарий

    Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.