Квадрат теңдеулердің шығу тарихы

Атырау облысы, Индер ауданы,

«Көктем» қазақ орта мектебінің

Математика пәнінің мұғалімі Калмуханова Самал

Атырау облысы, Индер ауданы,

«Көктем» қазақ орта мектебінің

8 «б» сынып оқушысы Рашева Асылай

Ғылыми жоба тақырыбы:«Квадрат теңдеулердің шығу тарихы»

Ғылыми жетекшісі: математика пәнінің мұғалімі Калмуханова Самал

Жоспары:

I. Кіріспе

1. Квадрат теңдеудің даму тарихы

2. Ертедегі Диофанттың есебі

3. Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы

II. Квадрат теңдеулерді шешу

2.1. Квадрат теңдеудің анықтамасы

2.2.Толымсыз квадрат теңдеулер

2.3. Квадрат теңдеуді шешудің әдістері

2.4. Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару [MORE]

ІІІ. Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

ПІКІР

Бұл жоба алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының формулаларына негізделіп отыр.Ұсынылған жобаның басты мақсаты квадрат теңдеулердің түбірлерін табудың формулаларын қолдануда квадрат теңдеулер арқылы көптеген мазмұнды есептерді шығаруға болатындығын көрсету Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін квадрат теңдеулерді шешуде және Виет теоремасын қолданып шешудің өзіндік тәсілдерін оқушылар тілінде қолданылу ерекшеліктерін көрсетіп өткен.Автор ұсынылып отырған материалдарға жан-жақты талдау жасап, терең зерттеген. Пайдаланылаған әдебиеттер тізімін көрсете отырып, көп іздену жұмыстары жүргізілгені көрінеді.

Жетекшісі: Калмуханова С.К.

Аннотация

Квадрат теңдеулердің түбірлерін табудың формулаларын қолдануда квадрат теңдеулер арқылы көптеген мазмұнды есептерді шығаруға болатындығын білді.Квадрат теңдеулерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде қолданғанын анық көрсетеді.Квадрат теңдеулерді шешудің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру керектігін жан-жақты сезіне білді.Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін квадрат теңдеулерді шешуде және Виет теоремасын қолданып шешудің өзіндік тәсілдерін ерекшеліктерін білді Қазақ тілінде квадраттық теңдеулерді шешудің әртүрлі тәсілдерін жинақтау, арнайы зерттеу жұмыстарын жүргізу, ғаламтордан тарихи зерттеп ой-пікірлерді, түрлі басылымдарды, оқулықтардан квадрат теңдеулерге қатысты мәліметтерді бір жерге жинақтап, нәтижесін табу туралы әдістердің маңызы зор болды.

Ғылыми жобаның мақсаты:

• квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдерін қарастырып тиімді жолдың бірі ретінде квадрат теңдеулерді шешуде қолдануға болатынын көрсету.

Зерттеу кезеңдері:

• тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;
• тақырыпқа байланысты материалдар жинақтау, әдебиеттерге шолу жасау, талдау;
• квадрат теңдеулердің түрлерін қарастыру;
• алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;
• жұмысты қорытындылау.

Зерттеудің жаңашылдығы:

Квадрат теңдеулерді пайдаланып теңдеулерді шешу жолдары көрсетілді.

Жұмыс нәтижелері мен қорытындылары:

Жинақталған мәліметтер мен алынған нәтижелер бойынша квадрат теңдеулердің кейбір есептерінің моделі жасалынды.

Кіріспе

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады. Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі.Квадрат теңдеулерді оның түбірлерінің формуласы бойынша шешу тақырыбымен 8-сынып алгебра курсында таныстым. Бұл тақырып маған жаңа тақырып әрі қызықты болды. Сондықтан осы тақырып бойынша квадрат теңдеулерді шешу әдістерін өздігімнен іздендім. Дегенмен, квадрат теңдеулерді шешудің басқа да әдіс-тәсілдері бар. Осы әдіс-тәсілдерді қарастыру арқылы бұл тақырып туралы терең білуге болады. Кейбір әдістерді тиімді жолдың бірі ретінде есептерді шығаруда қолдануға болады. Вавилондықтар (б.з.д екі мыңыншы жылдар шамасында) толымсыз квадрат теңдеулерді және толық квадрат теңдеулердің дербес түрлерін () шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазір біз қолданып жүрген формуласына пара-пар.Вавилондықтар мұнан басқа да

Формулаларын және басқа арифметикалық прогрессиялардың қосындысын табудың ережелерін білген. 1945 жылы вавилондықтардан қалған тағы бір математикалық мәтіннің мазмұны анықталады.Мұнда қабырғалары рационал сандар болып келген тік бұрышты үшбұрыштың тізімі келтірілген, яғни теңдеуін қанағаттандыратын пифагор сандарын табу жолы қарастырылған.

Пифагор анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: «пифагор сандарын табу ережесін» қалдырған. Олар мынадай формулалармен анықталады:

мұнда -тақ сан.

Ежелгі грек математиктері квадрат теңдеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларға келтіріп шеше білген.

Квадраттың диагоналы АС-мен оның қабырғасы өлшемдес болсын деп кері жориық.Онда , бұдан қысқармайтын бөлшек шығады, мұнда -тақ сандар.

Пифагор теоремасы бойынша , олай болса, , ендеше, және жұп сан, түріндегі сан болады. Бұдан 4р2=2n2 немесе n2=2р2 ендеше,n2, n-жұп сан болады деген қорытынды шығады. Сөйтіп, -әрі ортақ,әрі жұп сан. Бұл мүмкін емес. Олай болса, квадраттың диагоналы оның қабырғасымен өлшемдес болмайды.

Осы сияқты гректер тәріздес алгебралық формулаларды да геометрия тілімен баяндай білген.

Геометриялық алгебраның жәрдемімен көптеген квадрат теңдеуге келтіретін есептерді шешуге болатын еді. Ол теңдеулер эллипстық, гиперболалық және параболалық болып үш тілге бөлініп, осылардың әрқайсысынан шешудің бірыңғай жалпы әдістері жасалады.

Квадрат теңдеудің даму тарихы.

2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д II мыңжылдықта Ежелгі Вавилонда шығара білген.Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі қатынастарға бөлу арқылы шешкен. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бірнеше рет «қайтадан ашылған» . Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан(жуықтап 598 ж.). Ортаазия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің «Китаб аль-джебр валь -мукабала» трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен.

Ертедегі Диофанттың есебі.

Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.

Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.

Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)²=4х² -12х+9.

Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:

5х² -8х+13=13

5х² -8х=0

х(5х-8)=0 5x-8=0

5x=8

x=

Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+ 2=, екіншісінікі

2х-3=2*-3=-3=.

Квадраттың аудандары: ()² =

()² =

Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті қанағаттандырады.

Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы.

Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен, әл-Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.

Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне келтіріп, сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық тәсілдері келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты белгілер кітапта атымен жоқ болғандықтан, «әл-Хорезмидің алгебрасы толығымен сөзбен сипаттау арқылы баяндалған. Гректің «Арифметикасында» немесе Браһмагуптаның еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем қолданылмаған. Тіпті сандар арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен сөздер ретінде жазылған!»Сондықтан теңдеулер сөзбен «шаршы» деп (яғни бүгіндері “x2” деп), «түбір» деп (бүгін оны “x” деп) және «сандар» деп (мысалы, «қырық екі», «жеті» деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп отырды. Бүгінгі күннің шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax2 = bx)
2) квадраттар санға тең (ax2 = c)
3) түбірлер санға тең (bx = c)
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c)
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2)

Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) («толықтыру») амалы: теріс шаманы теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4×2” теңдеуі «әл-жәбр» амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5×2 = 40x” Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) («теңдестіру») дегеніміз – теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу: “x2 + 5 = 40x + 4×2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3×2“. Осы ережені қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты) теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған.

Квадрат теңдеудің анықтамасы.

(1) түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу деп аталады.

Мұндағы а, в, с нақты сандар. , х-айнымалы.

а – бірінші коэффициент, в – екінші коэффициент, с- бос мүше.

Егер (1) теңдеудегі болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталады. Іс жүзінде кездесетін көптеген есептерді шешу, мысалы 2, 3түрдегі мысалдарды алуға болады.

Толымсыз квадрат теңдеулер

Егер ах2+вх+с=0 түріндегі теңдеудің в немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.

Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады.

1. , мұндағы с=0.

2. , мұндағы в=0.

3. , мұндағы в=0, с=0. Мысалы: 2 х2 = 0, в=с=0, х2 + х – 7 = 0, в=0 және

х2 + 6х = 0, с=0

Квадрат теңдеуді шешудің әдістері

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу.

х2 + 10х – 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .

Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2).

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:

(х + 12)(х – 2) = 0

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2және х = – 12 сандары х2 + 10х – 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып табылады.

2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі.

Мысал: х2 + 6х – 7 = 0 теңдеуін шешейік.

Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2 + 6х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 3-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 32-ын қосу керек. Сонда х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 32 -ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:

х2 + 6х – 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:

(х + 3)2 – 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Бұдан , х + 3 – 4 = 0, х1 = 1, немесе х + 3 = -4, х2 = -7.

3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) – b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 – 4ac,

2ax + b = ± √ b2 – 4ac,

2ax = – b ± √ b2 – 4ac,

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ac = 72 – 4 • 4 • 3 = 49 – 48 = 1,

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады:

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

б) 4х2 – 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 4, b = – 4, с = 1, D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 • 4 • 1= 16 – 16 = 0,

D = 0, болғандықтан, бір ғана түбір бар болады

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса b2 – 4ac = 0,

ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады

в) 2х2 + 3х + 4 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 – 4ac = 32 – 4 • 2 • 4 = 9 – 32 = – 13 , D < 0.

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды..

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. b2 – 4ac < 0 онда ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің түбірі болмайды.

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын қанағаттандырады.Ол былай беріледі: х2 + px + c = 0. (1)а=1 болғанда, x1 x2 = q, x1 +x2 = – p

Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:а) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады.Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда түбірлері оң болады.

Мысал,x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 және x2 = 1, мұнда q = 2 > 0 , p = – 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = – 7 және x2 = – 1, мұнда q = 7 > 0 , p= 8 > 0.

б) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q <0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0.

Мысал:

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = – 5 , x2 = 1, мұнда q= – 5 < 0 , p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = – 1, мұнда q = – 9 < 0 , p = – 8 < 0.

5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 .квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз:

а2х2 + аbх + ас = 0. .ах = у деп белгілесек, х = у/а

Олай болса у2 + by + ас = 0, еңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін у1, у2 –ні Виет теоремасы арқылы табамыз.

Соңында х1 = у1/а , х1 = у2/а -ны аламыз. Бұл жағдайда а коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды . Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.

мысалы, 2х2 – 11х + 15 = 0 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде: у2 – 11у + 30 = 0. Виет теоремасы бойынша

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Жауабы: 2,5; 3.

6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану.

ах2 + bх + с = 0, , а ≠ 0 квадрат теңдеуі берілген.

1) Егер, а+ b + с = 0 (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х1 = 1,

х2 = с/а.

Дәлелдеу: а ≠ 0, келесідей квадрат теңдеуге келеміз.

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Виет теоремасы арқылы

x1 + x2 = – b/a,

x1x2 = 1• c/a.

а – b + с = 0 шарты бойынша, b = а + с аламыз. Олайболса,

x1 + x2 = – а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = – 1• ( – c/a),

х1 = -1 , х2 = c/a болатынын дәлелдндік.

1. Мысал: 345х2 – 137х – 208 = 0 теңдеуін шешейік.

Шешуі. а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0),

онда

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Жауабы: 1; -208/345.

2) 132х2 – 247х + 115 = 0 теңдеуін шешейік.

Шешуі. а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0),

онда

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Жауабы: 1; 115/132.

7-әдіс: Квадрат теңдеуді шешудің графиктік түрі
теңдеуінен екінші, үшінші мүшелерін оң жағына шығарсақ, аламыз.

функциялардыңграфиктерін тұрғызамыз.

Бірінші функцияның графигі – координат басынан өтетін парабола, екінші функцияның графигі – түзу (1-сурет). Енді келесі жағдайлар болуы мүмкін:

-түзу және парабола екі нүктеде қиылысуы мүмкін, қиылысу нүктесінің абциссасы квадрат теңдеудің түбірі болады.

– түзу және парабола жанасуы мүмкін (бір ғана ортақ нүктеде), яғни теңдеудің бір ғана шешімі болады.
-парабола және түзудің ортақ нүктелері жоқ, яғни теңдеудің түбірі жоқ.
Мысал:
1)теңдеуін графиктік тәсілмен шешеміз.
Шешуі: түрінде жазамыз. параболасын және түзуін тұрғызайық. түзуін мына М(0,6) және N(3,9) нүктелері арқылы тұрғызуға болады. Түзу және парабола А,В нүктелері абсциссалары -пен қиылысады.

Жауабы:

2)теңдеуін графиктік тәсілмен шешеміз
Шешуі:түрінде жазамыз. y=х2 параболасын және у=-2х-1 түзуін тұрғызайық. у=-2х-1 түзуін М(0;-1) және N() нүктелері арқылы жүргіземіз. Парабола мен түзу А нүктесінде қиылысады, абциссасы х=-1 тең.
Жауабы:х=-1

2.4. Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару

№1 есеп. Қосындысы 22- ге, ал квадраттарының қосындысы 250- ге тең екі санның

кішісін тап.

Ш: х+у=22 х= 22-у

х2+у2= 250 (22-у)2+у2=250

(22-у) (22-у)+у2=250

484-22у-22у+у2+ у2=250

484 – 44у+ 2у2-250=0

2у2 -44у+ 234=0

D=в2-4ас= (-44) -4*2*234=1936-1872=64

х= 44-√64=44-8=36=9 х=44+√64=44+8=52=13

Тек: 9+у=22 Тек: 13+у=22

у=22-9 у =22-13

у =13 у =9

Жауабы: 9

№2 есеп. Бір ұядағы барлық бал арасының жартысының квадрат түбіріне тең аралар жасмин бұтасына қонған,олардың артында аралардың -і қалған. Лотостың хош иісті гүлінің тұзағына абайсызда түсіп калған серік арасының ызыңына ұшып келген осы ұядағы аралардың тек біреуі ғана лотосты айналып ұшып жүр.Бір ұяда қанша бал арасы болған?

Шешуі:

Аралардың ізделінді саны-х

у жаңа айнымалы Х 2

2у2-9у-18

у1 у2-

х1 х2

Жауабы: бал арасының ұясында 72 ара болған.

№3 есеп Айырымы 4- ке, ал квадраттарының айырымы 104-ке тең екі санның үлкенін тап.

Ш: х-у=4 х= 4+у

х2-у2= 104 (4+у)2-у2=104

(4+у) (4+у)-у2=250

16+4у+4у+у2- у2=104

16 +8у=104

8у= 104-16

8у=88

у=11

Тек: х-11=4

х = 4+11

у =15 Жауабы: 15

№4 есеп. Екі санның қосындысының мәні 15, ал көбейтіндісінің мәні 54. Осы сандарды тап.

х+у=15 х =15-у

ху=54 (15-у)у=54

15у-у2-54=0

-у2+15у-54=0 (-1)

у2 -15у +54=0

D=в2-4ас= (-15) -4*1*54=225-216=9

х= 15-√9=15-3=12=6; х=15+√9=15+3=18=9

Тек: 6+у =15 9+ у=15

у=15-6 у= 15-9

у= 9 у=6 Жауабы: 9;6

Мақал – мәтелдер берілген. Оның ішіндегі екі сан есім квадрат теңдеудің түбірлері және теңдеу беріледі, яғни Виет теоремасы, Виет теоремасына кері теорема бойынша квадрат теңдеу құру керек.

№5 есеп.

Білімді мыңды жығады,Білекті бірді жығады.

, Жауабы:

№6 есеп.

Жеті рет өлшеп, бір рет кес. , Жауабы:

№7 есеп

Бір тал кессең, он тал ек.

; Жауабы

4. Жігіт бір сырлы, сегіз қырлы.

, Жауабы:

№8 есеп

Жеті жұрттың тілін біл, Жеті түрлі білім ал.

,; Жауабы:

Қорытынды

Квадрат теңдеулерді теңсіздіктерді шешкенде, тригонометрия және иррационал теңдеулерді шешкенде де қолданылатынын білдім.
Квадрат теңдеуді шешудің әдістері оқушылардың «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады. Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тәсілдері де қолданыс тапқанда пәнге деген қызығушылығымның , логикалық ойлау қабілетімнің артып, шыңдала беретінін байқадым. Квадрат теңдеулер физика және геометрия пәндеріндегі кейбір есептерді шешуде бірден бір қолайлы тәсіл болып табылады. Сол сияқты алгебра пәнінде де кейбір тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешуге де ыңғайлы тәсілдің бірі болып саналады. Сондықтан да әрбір оқушы үшін квадрат теңдеуді басқа пәндердегі есептерді шешуде қолдана білуі, математиканың ғылымдар патшасы ретінде білгеніміз жөн деп санаймын. Ақыл-ойды дамытатын математика. Сондықтан да кез-келген есептердің шешу тәсілдерін біліп қана қоймай,олады терең меңгеріп, біздің ой-санамыздың дамуына үлкен мүмкіндік береді.

Қолданылған әдебиеттер:

1. Математика,физика журналы №2 2014 ж ,№5, 6, 2015ж.
2. В.М. Брадис Төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.:Просвещение, 1990
3. Ә.Н.Шыныбеков, Алгебра 8-сынып, Алматы «Атамұра» 2004,2012ж
4. Ш. Бекбаулиева, Қ.И. Қаңлыбаев, Н.Н. Забежанская, М.Б. Меңдіғалиева, Алматы «Ана тілі» 1991
5. Математика журналы №4, 2007 ж.
6. Ш.А.Алимов , В.А. Ильин и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. – М., Просвещение, 1981.
7. И.П.Рюстюмова,С.Т. Рюстумова Пособие для подготовки к единому национальному тестированию по математике