МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТИІМДІ ТӘСІЛДЕРМЕН ШЫҒАРУ

№ 39 Темірбек Қожакеев атындағы орта мектеп-гимназиясы,

Жамбыл облысы, Меркі ауданы

математика пәні мұғалімі: Разакпаева Эльвира Серікқызы

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ТИІМДІ ТӘСІЛДЕРМЕН ШЫҒАРУ

Практика жүзінде есептерді шығару барысында қорытындыға келу үшін бірнеше әдістерді қолданып, олардың тиімді жолдарын қарастырамыз. Мұндай есептер біздің эрамызға дейін қарастырылған, сондықтан олар экстремалды деп аталады. Біздің эрамызға дейінгі бірінші жүзжылдықта Александриядағы Герон тамаша жаңалық ашқан. Ол айнадан түскен жарық көзінің А нүктесінен В нүктесіне дейінгі арақашықтықта, айна жазықтығына түскен А нүктесінен В нүктесіне дейінгі арақашықтықта шағылысу жолының кіші екендігін анықтаған.

Үй құрылысы барысында мені келесідей есеп қызықтырды: Терезенің формасы жарты дөңгелекпен шектелген, тік төртбұрыш тәріздес. Фигураның периметрі берілген. Ең көп көлемде жарық өткізу үшін терезенің өлшемдері қандай болуы қажет?

Анықтамалық әдебиеттен оның туынды арқылы шешуге болатынын анықтадым, әзірге бұл мағлұматты оқыған жоқпын. Мұндай есепті қандай жолмен шығаруға болады?

Таңдап алынған тақырыптың маңызы бар деп санаймыз, өйткені тиімді тәсілдермен есептер шығару арқылы практикамен байланыстырып, оның математикада, техникада, экономикада, медицинада және жаратылыстану ғылымдарында адамдар жиі қолданатынын байқауға болады.

Негізгі мазмұны

Есептер шығарудың математикалық моделін құрамыз.

1.Есептің шартын сараптау.

1. Ең үлкен немесе ең кіші мәндердің шамаларын табуды анықтау талап етіледі.

3.Белгісіз шаманың тәуелсіз айнымалы ретінде х әрпімен белгілеу. х айнымалының өзгеру аймағын анықтау.

1. Есеп шартына байланысты у–ті х арқылы белгілеу.

2. х өзгеру аймағындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін математикалық жолмен есептеу.

3. Қарастырылатын есептердің нәтижесін талдау.

Модельдеудің сәтті немесе сәтсіз болуы тәуелсіз айнымалыға байланысты емес; таңдау тек қана модельдің қарапайым болуымен қатар оны зерттеудің мүмкіндігінің болуы.

2.1. Тиімді тәсілдер арқылы есептер шығару барысында келесі теореманы қолдануға болады.

1 теорема. Екі оң көпмүшенің көбейтіндісінің қосындысы тұрақты түрде үлкен шамалары бірдей болғанда тұрақты ең үлкен мәнге тең. (егер көпмүшелер тең шамалы болса).

Дәлелдеу: Көбейткіштерді х және у арқылы белгілейміз. Өрнекте көрсетілгендей, xy=((x+y)2-(x-y)2). (Шарт бойынша x+y -тұрақты). хy көбейтіндісі (x-y)2, шамасында ең үлкен мәнге тең, себебі x=y. Көрсетеміз max xy=(x+y)2.

2 теорема. Екі оң қосылғыштың көбейтіндісі тұрақты түрде қосылғыштар тең болғанда ең кіші мәнге ие болады.

Дәлелдеу: Қосылғыштар x және y болсын. (x+y)2=(x-y)2+4xy өрнегінен егер x-y=0 онда х+у ең кіші мәнге ие болады.

Салдары: Егер xy көбейтіндісі тұрақты болса, mx+ny, мұндағы m жәнеn оң сандар болғанда, онда mx+ny кіші мәнге ие. Көрсетілгенді пайдаланып есептер шығару.

1 есеп. Терезенің формасы жарты дөңгелекпен шектелген, тік төртбұрыш тәріздес. Фигураның периметрі берілген. Ең көп көлемде жарық өткізу үшін терезенің өлшемдері қандай болуы қажет?

Есепті 1 теореманы пайдаланып шығарамыз.

Шешімі

1. Есепті шартын өзгертеміз: терезеніңауданы ең үлкен болуы үшін, терезенің өлшемдерін таңдау қажет.
2. Терезенің биіктігі -y, ал ені -x, терезенің периметрі P, онда
3. x+2y+=P, терезенің ауданы S=xy+.

x>0,y>0

x,y, оң мәндерінен x+2y+ Пx2 /2=P теңдігі орындалатындай S ең үлкен шамасын таңдау қажет.

Жүйе құрамыз:

x+2y+ Пx/2=P

S=xy+ Пx2 /8.

1. 1 теореманы пайдаланып S тің ең үлкен мәнін табамын.

y=(P-x-) y=(P-x-) y=*(P-x-)

S= xy+ Пx2 /8 S =(P-x-) + S =- -+

y=(P-x-) y=(P-x-) y=*(P-x-)

S =- – S =(4Px-(4+П) x2) S = x(4P-(4+П)x)

y=*(P-x-)

S =(4+ П)(( 4+П)x)(4P-(4+П))x.

У= P- -x S =(( 4+П)x)(4P-(4+П))x.

(4+ П)x(4P-(4+П)x) көбейтіндісі үлкен мәнге тең болғанда S ең үлкен мән қабылдайды, оң мәнді көбейткіштердің қосындысы тұрақты (4+ П)x және 4P-(4+П)x 1 теореманың шарты бойынша (4+ П)x = 4P-(4+П)x

осыдан x=

y=(P-x-) = (P–) = () =.

Жауабы: Терезе өлшемдері , шамасына тең болғанда көп мөлшерде жарық түсіреді.

2.2. Тиімді тәсілдер арқылы есептер шығару барысында квадраттық үшмүше қасиеттерін қолдану

2 есеп

y=x2-6x+5 функциясының ең кіші мәндерін тап.

Шешімі:

1 тәсіл. y= x2-6x+5=(x+3)2-4. (x+3)2>=0 барлық х үшін, онда y(3)=-4.

2 тәсіл. Үшмүшенің түбірі: (x2-6x+5=0) ( х=1,х=5

Парабола симметриялы,сондықтан xтөбесі 1және 5 сандарының арифметикалық ортасы болады: хтөбесі ==3. Жоғарғы мүше оң, функция xтөбесі=3 болғанда ең кіші мәнге ие болады, яғни min y=y(xтөбесі)=y(3)=9-18+5= -4.

3 тәсіл. Функцияның монотондығын ескереміз y=( x+3)2-4. x <3 болғанда өспелі, ал x >3 болған жағдайда кемімелі, сондықтан х=3 нүктесінде ең кіші мән қабылдайды. Жауабы: У min=у(3)= -4 Жалпы жағдайда : y= ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++ -)+c=a(x+)2- +c=a(x+)2+. Осыдан кейін: 1 теорема

а) Егер, а>0, онда функция y= ax2+bx+c функциясы x=-b/2a болғанда ең кіші мәнге ие болады, (4ас-b2)/4а болатындай;

б) Егер, а<0, онда функция y= ax2+bx+c функциясы x=-b/2a болғанда (4ас-b2)/4а болатындай ең үлкен мәнге ие болады;

Квадрат үшмүшені қолданудың өзім құрастырған есепте көрсету.

3 есеп. Никельтау, Кеңесту және Мұғалжар елді мекендерінің аралығындағы темір жол бір түзудің бойында емес. Никельтау, Кеңесту және Мұғалжар қалаларының қашықтықтарының квадраттарының қосындысы кіші болатындай, Никельтаудан Кеңестуге дейінгі теміржолдың қай бөлігінде жаңа станция тұрғызуға болады. ( станциядан станцияға дейінгі қашықтық бірқалыпты түзу сызық)

Шешімі:

1) М нүктесінен НК –ға МД перпендикуляр тұрғызу кере және мынадай белгілеу енгіземіз: МД=а, НД=b, ДК=с. (a, b, c- белгілі деп аламыз, яғни М,Н, және К нүктелері берілген), СД=x, y= МС2+НС2+КС2.

2)МС2=МД2+СД2=x2+a2;

НС2=(НД-СД)2=(b-x)2;КС2=(с+x)2. у аламыз:

3)y= (a2+x2)+(b-x)2+(c+x)2=3×2-2(b-c)x+b2+c2.

Алынған функцияны түрлендіреміз: y=3(x)2+a2+b2+c2-Болғанда x=. уmin =a2+b2+c2-. Жауабы: уmin =a2+b2+c2- болғанда x=

4 есеп. V1 және V2 м/с тұрақты жылдамдықпен екі автомобиль тік бұрыш жасап қиылысатын бағытта жол бойымен қозғалып келеді. Бастапқы қозғалыста біріншісі а қашықтықта ал екіншісі b қашықтықта орналасқан. Қозғалыс басталған соң неше секундтан кейін олардың ара қашықтығы ең кіші шамада болады?

Шешімі

Бастапқы қозғалыстан кейін x секунд өтсін делік.

А 1С =а-V 1x, а. ВС=(b-V 2x). Автомобильдердің ара қашықтығы мынадай болсын: А1В1=

y= мәні кіші болатындай x-ті табу керек. Функция квадраттық еме, себебі y= өседі t>0

болғанда, олай болса y= және y= (а- V1x)2+(b-V2x)2 бір нүктеде ең кіші мән қабылдайды. Екінші функция квадраттық болады, яғни оның ең кіші мәнін табамыз,

y= =(V21+V22)x-2(aV1+ bV2)x+a2+b2=(V21+V22)(x-( aV1+ bV2)/( V21+V22)2+a2+b2- (aV1+ bV2)2/(V21+V22). Осыдан x=(aV1+ bV2)/ (V21+V22), ал ең кіші мәні мынаған тең. А1В1= .

Жауабы: x=ең кіші қашықтық А1В1= .

2.3.Тиімді тәсілдер арқылы есептер шығару барысында

Коши теңсіздігін қолдану

Коши теңсіздігінің көмегін пайдалану арқылы небір күрделі шешімдегі есептерді шығаруға болады.

1 теорема: Егер a1,а2,……..аn- терсі емес сандар болса, онда

5 есеп. y=x2-6x+5 функциясының ең үлкен мәнін табу.

Шешімі

Хтөбесі=6/2=3 x2-6x+5 = (х-1)(х-5)

Коши теоремасы бойынша а1+ а2+…..+ аn> 0 и (а1а2…..*аn)>0, то при 1<x<5

Кесіндісінде функция түрі мынадай, z= . (5-x)>0, (х-1)>0 => . (5-x+x-1)/2>

2>=>zmax=2 y min= – z2max = -4 Жауабы: -4

Тиімді тәсілдер арқылы есептер шығару барысын қарастыра отырып, келесі әдістерді анықтадым: негізгі теоремаларды, квадраттық үшмүше қасиеттерін, Коши теңсіздігін қолдану.Есеп құрастырып, оны квадраттық үшмүше қасиеттерін қолданып, шығардым. Мұндай бағыттағы практика есептерін, жоғары сыныптағы математика курстарында, талапкерлерді жоғары оқу орындарына дайындау курстарында пайдалануға болады.Тиімді тәсілдер арқылы есептер шығаруда жаңа білім жинақтап, математиканың практикадағы пайдалану мағынасын ұқтым. Мұндай есептерді туынды арқылы да шығаруға болады, дегенмен, осы саланы болашақта әрі қарай дамытып, оқимын.

Қолданылған әдебиеттер:

1. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев «Справочник по математике для инженеров учащихся в вузах.
2. Н.И. Зильберберг «Алгебра и начала анализа» в 10 классе для углубленного изучения математики.
3. Э.Г. Готман, З.А.Скопец «Решения геометрических задач аналитическим методом»

, Разакпаева Э..doc