Семей қаласы, №37 гимназиясының бірінші санатты
Математика пәнінің мұғалімі
Сағатбекова Жанар Қалиханқызы
Оқушының ғылыми жұмысы
ТАҚЫРЫБЫ: Сан қатарлары
Кіріспе Ғасыр білімділер ғасыры. Ел Президенті Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан халқына арнаған жолдауында « …Біздің болашақтың жоғары технологиялық және ғылыми қамтымды өндірістері үшін кадрлар қорын жасақтауымыз қажет …» деген сөздері бар. Болашақта сол кадрлар қатарына тұрудың негізгі шарттарының бірі математиканы терең меңгеру деп білемін. Мен үшін мектептегі оқытылатын пәндердің ішінде ең негізгісі математика. Математика нақты дәлелдеуді қажет ететін, қызықты да қиын пән. Өмір өзі есептеуден тұрады. Туғаннан дене салмағын, бойдың ұзындығын өлшеуден бастап, адам дамуының негізгі есептеулері бастау алады.
Қазіргі сан салалы математика ғылымы мені қатты қызықтырады. Соның ішінен «Сан қатарларын» зерттеуді жөн көрдім. Бұл жұмысты бастауыма, бүгінгі таңда математикалық пән олимпиядасы өзге пәндермен салыстырғанда кең етек алып, қарқынды түрде дамып келе жатқаны түрткі болды.
Сан — о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен келіп туды. Ол өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп және жалпыланып отырды. Бұл ұғымның маңыздылығы туралы С.Стевин /1548-1620/ былай деп жазды: «Сандардың арасында ғажайып келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңдылығы туралы күндер мен түндер бойы ойлануымыз керек». Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нәтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті – жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана объектілер мен аралық- жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық-жиындарды, оның- элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейін натурал сандар туралы түсінік пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді. Осынау мәселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар Ежелгі Үндістанда сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретінде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі туралы түсінік те біртіндеп қалыптасты. «Натурал сан» терминін тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций /шамамен 480-524 жылдар/ қолданған.
Санаудың ондық жүйесі қазіргі түрінде біздің заманымыздың шамамен І ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу үндістандық ғылымның маңызды жетістігі болады. Нөл енгізілгеннен кейін ғана жазудың ондық жүйесі толығынан аяқталды. Алдымен нөлдің абақтың тиісті разрядында тастардың жоқтығын белгілеу үшін пайда болуы да ықтимал.
Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге айналды және оларды математикалық объектілер ретінде зерттеудің мүмкіндігі пайда болды. Арифметика сандарды және олармен жүргізілетін адамдарды зерттейтін ғылым, Ежелгі Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметиканың дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия математиктері, ал ХІІІ ғасырдан бастап- еуропалық ғалымдар үлкен үлес қосты.
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдарының еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар қатарының шексіздігі анықталды /біз дәуірге дейінгі ІІІ ғ./ Натурал қатардың, жай сандар қатарының шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын жасау Евклидтің «Бастамалар» деген әйгілі туындысында және Архимедтің «Құмды санау туралы» / «Псаммит»/ деген кітабында қарастырылды.
ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарындағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар теориясын да қамтуда.
Мен тек қана натурал сандар қатары емес, прогрессиялар мен қосындыларды, гормониялық қатарларды зерттедім.
Физикалық есептерді шығару кезінде теорияны білу қажет болғанымен, жеткіліксіз. Себебі теорияны жақсы біле тұрып қарапайым есептерді де шығара алмау мүмкін. Сол себепті есептердің шығару тәсілдерін толық меңгеру керек, яғни өзінің білімі мен қабілетін керек сәтінде түгелімен іске жұмылдыру қажет. Осы айтқандарға көрнекі мысал ретінде физикалық соны есептерді келтіруге болады. Мұндай есептер әртүрлі себептер бойынша қызықты болып келеді. Мәселен, есептің мазмұны көрнекі болу мүмкін, немесе есептің жауабын тікелей сезу, көбінесе, есептің шығару жолдарында өзіндік ерекшеліктер болуы мүмкін, т. с. с. Соны есептердің басқа есептерден басты ерекшелігі – оның жауабының күтпеген жерден кенеттен болуында, яғни соны есептердің жауаптары әрдайым әрі қарапайым, әрі қызықты болады. Сондықтан мұндай есептерді шығару жақсы әсермен қатар меңгерген білімді де есте ұзақ сақтауға көмектеседі.Соны есептерді жүйе – жүйеге бөліп топтастыру мүмкін болмағандықтан, бұл жерде математикалық қатарлардың қасиеттеріне негізделген физикалық есептерге тоқталдым.
1.Прогрессиялар мен қосындылар
1.1. Арифметикалық прогрессия
Сандардан әртүрлі тізбек құрастыруға болады. Мәселен, 1,2,3,4,5, …. натурал сандар тізбегі, 1,4,9,16,25, … Квадрат сандар тізбегі, 2,3,5,7,11,13, … жай сандар тізбегі.Екі түрлі тізбек математикада өте-мөте жиі қолданылады.Олардың бірі- арифметикалық прогрессия, екіншшісі- геометриялық прогрессия.”Прогрессия” термині латын тілінің «прогрессио» деген сөзінен шыққан,мағынасы – “ілгері жүру”. Бұл атауды алғаш рет рим математигі Аник Боэций қолданған. Прогерессиялар ерте замандардан мәлім.
Прогрессия құрайтын сандар прогрессияның мүшелері деп аталады.Бірнеше ғана мүшесі болатын прогрессиялар шекті прогрессиялар деп,мүшелері сансыз көп прогрессиялар шексіз прогрессиялар деп аталады.Алдыңғы мүшесінен соңғы мүшесі артық болып отыратын прогрессияны үдеме прогрессия дейді, алдыңғы мүшесінен соңғы мүшесі кем болып отыратын прогрессияны кеміме прогрессия дейді.
Екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі өзінің алдындағы мүшеге сол мүшелердің бәріне ортақ бір тұрақты санды қосу арқылы жасалатын тізбек арифметикалық прогрессия деп аталады. Бұл,мүшелерге қосылып отыратын, тұрақты санды қосу арқалы жасалатын тізбек арифметикалық прогрессиялық деп аталады. Бұл, мүшелерге қосылып отыратын,тұрақты сан арифметикалық прогрессияның айырмасы деп аталады да,көбінесе d әріпімен белгіленеді. Мысалы:
1,4,7,10,13, ………….
тізбек – шексіз үдемі арфметикалық прогресссия , оның айырмасы d= 3. Шынында да:
4=1+3, 7=4+3, 13=10+3, ….
Арифметикалық прогрессияның мүшелері, тұрған орындарын қарай, деп белгіленеді.Жоғарыдағы мысалда Бірінші мүшесі мен айырмасы берілсе, арифметикаық прогрессияның өзін жазып шығаруға болады. Мәселен , d=5 болса, прогрессия
2,7,12,17,22,27,32,37, ….
Кейде бүкіл прогрессияны іздемей,оның бір белгілі нөмірлі мүшесін ғана табу ғана табу қажет болады. Бұл есепті жалпы түрде шешейік.
арифметикалық прогрессияның мүшесін табу қажет болсын.
Анықтамa бойынша:
Мұнда n-1 жол бар, өйткені оң жақтағы мүшелердің нөмірлері 1-ден басталып, n-1 -ге жеткен. Жол сайын d бар. Теңдіктерді мүшелеп қоссақ:
Екі жағынан қосындыны шегеріп тастаймыз, одан теңдік өзгермейді. Сонда:
Сонымен арифметикалық прогрессияның кез келген n–ші мүшесі анықталды. Әдетте мұндай мүшені арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі дейді. Ерте замандарда жалпы мүшені табу жолы жатталып, ауызша әр түрлі айтылып келген. Оның осы күні қолданылып жүрген ережесін 1539 жылы Кардано тұжырымдаған. Жалпы мүшенің формуласын пайдаланғанда болады. Сондықтан арифметикалық прогрессияны былай жазуға да болады:
Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласын математикалық индукция әдісімен қорытып шығаруға болады.
Сандардың 1,2,3,4,5,… натурал тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды, оның бірінші мүшесі айырмасы d=1. Мына бір санның қайталануынан пайда болатын, b,b,b,b,… тізбекті де ариметикалық прогрессия деуге болады,онда . Сол сияқты b,2b,3b,4b,5b,… тізбегі де –арифметикалық прогрессия, онда .
n мүшесі бар шекті прогрессияны алайық. Екі шеткі мүшесінің қосындысы
болады. Екінші және n-1 мүшелердің қосындысы:
.
Үшінші және мүшелердің қосындысы:
Әрі қарай да осы қасиет сақталады: арифметикалық прогрессияның шетінен бірдей қашықтықта тұратын әрбір екі мүшесінің қосындысы екі шеткі мүшесінің қосындысындай болады. Мұны былай жазуға да болады:
Айтылып отырған қасиетті математикалық индукция әдісімен дәлелдеуге болады. Арифметикалық прогрессияның бас жағындағы n мүшесінің қосындысын есептеп шығарайық. Бұл қосынды S әрпімен белгіленеді ( қосынды латынша «сумма» дейді, S -соның бірінші әрпі, математиктер солай белгілеп, дағдыланып кеткен.)
Енді осы қосындыны кері тәртіппен жазайық (одан қосынды өзгермейді):
Екі қосындыны мүшелеп қосамыз. Сонда:
Мұнда n жақша бар, өйткені прогрессияда n мүше бар. Алдыңғы дәлелдеген қасиет бойынша екінші, үшінші…., n –ші жақшалaрдағы қосындылардың бәрі де қосындыға тең. Сондықтан болады.Бұдан:
Арифметикалық прогрессия алғашқы n мүшесінің қосындысын табуға қолданылатын формулардың бірі осы. Ол тұңғыш рет итальян ғалымы Леонардо Пизанскийдің 1202 жылы жазылған “Абак туралы кітабында” келтірілген. Одан бұрыңғы ғалымдар сөз жүзінде баяндап келген.
Ұлы неміс математигі Карл Гаусс (1777-1855)
1+2+3+4+5… +98+99+ 100=5050
Болатындығын алты жасар кезінде тапқан деседі. Айту бойынша ол былай есептеген:
Жоғарыда болатындығы айтылды.Мұны пайдаланып, қосындының формуласын былай жазуға болады:
Бұл – қосындыны табуда қолданылатын екінші формула.
Арифметикалық прогрессияда шешуші роль атқаратын бес шама бар:
Олар:
Осы бесеуінің үшеуі берілгенде арифметикалық прогрессияға қатысы бар есептердің қайсысын болса да шешуге болады.Қарапайым есептерде үшеуі беріледі де, қалған екеуі формулалар бойынша есептеліп шығарылады.Формула үшеу, бірі – жалпы мүшенің формуласы, екеуі қосындының формуласы.
Шәкірттер бұл формулаларды естерінде сақтаулары керек. Берілуіне қарай бұл есептер төмендегідей 10 типке бөлінеді:
1)а1, аn , d берілген n мен S белгісіз,
2) а1 , d,S берілген аn мен n белгісіз,
3)a1, d,S берілген аn мен n белгісіз,
4) берілген а1 мен n белгісіз,
5) а1, аn , n берілген d мен S белгісіз,
6) n, d, S берілген а1 мен аn белгісіз,
7) аn ,n , S берілген а1 мен d белгісіз,
8) а1, n, S берілген аn мен d белгісіз,
9) аn ,d,n берілген а1 мен S белгісіз,
10) а1, аn ,S берілген d мен n белгісіз.
Күрделі есептерде айтылып отырған үш шаманың орнына оларды табуға мүмкіндік тудырарлықтай үш шарт беріледі.
Кеміме арифметикалық прогрессияларда айырма теріс сан болады,мәселен:
42,38,34,30,26,…d=-4.
Мүшелері кілең жай сандар болатын арифметикалық прогрессиялар өте сирек кездеседі. Мысалы, 251,257,263,269 және 1741,1747,1753,1759 пргрессияларының әрқайсысында төрт мүше — төрт төтелес жай сан бар. Бұлардың екуініңде айырмасы d=6.Мына 5,11,17,23,29 прогессия бес жай саннан құралған, мұнда d=6. Совет математигі В.А.Голубев 12 жай саннан құралған арифметикалық прогрессия тапқан, оның бірінші мүшесі айырмасы d=6. Жиырма-отыз жай саннан құралатын прогрессиялар әлі белгісіз.
1.2. Геометриялық прогрессия
Екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі өзінің алдындағы мүшені сол мүшелердің бәріне ортақ бір тұрақты санға көбейту арқылы жасалатын тізбек геометриялық прогрессия деп аталады.Бұл,мүшелер көбейтіліп отыратын, тұрақты сан геометриялық прогрессияның еселіг еселігі деп аталады да, көбінесе q әріпімен белгіленеді.Мысалы:
1,2,4,8,16,32,64,…
тізбек шексіз үдеме геометриялық пргрессия,оның еселігі q=2.Шынында да:
2=2∙1, 4=2 ∙2, 8=4∙2, 16=8∙2,…
Геометриялық прогрессияның мүшелері,тұрған орындарына қарай , деп белгіленеді.Бірінші мүшесі мен еселігі берілсе, геометриялық прогрессияның өзін жазып шығуға болады.Мәселен, болса прогрессия:
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …
мүше геометриялық прогрессияның жалпы мүшесі деп аталады.(n – натурал сан).Оны бірінші мүше мен еселік арқылы өрнектеуге болады.Анықтама бойынша:
Бұл теңдіктер системасында n-1 жол бар, жол сайын q бар.Мүшелеп көбейтсек:
,
теңдіктің екі жағын да бірдей көбейтіндісіне қысқартсақ:
бoлады.Сөйтіп,жалпы мүше анықталды.
Жалпы мүшенің формуласын пайдаланғанда
,…
Бұлардан
шығады. Сөйтіп, геометриялық прогрессияның шетінен бірдей қашықтықта тұратын әрбір екі мүшесінің көбейтіндісі екі шеткі мүшесінің көбейтіндісіндей болады.
Геометриялық прогрессияның да алғашқы n мүшесінің қосындысы S әрпімен белгіленеді. Енді осы қосындыны анықтайтын формуланы қорытып шығарайық.
болатыны мәлім. Сондықтан:
Бұл бөлшекті былай жазуға болады:
Еселік 1-ден артық болғанда Алдыңғы формула бойынша есептеп шығару тиімді болады. Іс жүзінде екеуі де екі түрде жазылған бір формула (қосындының бірінші формуласы). Дәлелденген формула әуелде Леонарда Пизанскидің, Австрия математигі Георг Пейербахтың (1423-14610, француз математигі Никола Шюкенің (XV ғасыр) еңбектерінде келтірілген.
болатындығын еске алып былай жазуға болады:
Бұл — геометриялық прогрессияның қосындысын табуда қолданылатын екінші формула. Оның мазмұны теорема түрінде Евклидтің «Негіздерінде» келтірілген.
Геометриялық прогрессияның формулаларын да математикалық индукция әдісімен қорытып шығаруға болады. Біз оған тоқталмаймыз.
шамалары геометриялық прогрессияда шешуші роль атқарады. Бұл бесеуінің үшеуі берілгенде геoметриялық прогрессияға қатысы бар есептердің қайсысын болсада шешуге болады.Қарапайым есептерде үшеуі беріледі де, қалған екеуі формулалар арқылы есептеліп шығарылады. Геометриялық прогрессиялар теориясында да үш негізгі формула бар. Геометриялық прогрессияның қарапайым есептері де, арифметикалық прогрессия есептеріне ұқсас, 10 типке бөлінеді. Күрделі есептерде, белгісіздерді табуға болатындай етіп, үш шарт беріледі. Кеміме геометриялық прогрессияларда еселіктің абсолют шамасы 1-ден кем болады, мысалы: 120,60,30,15,…, q = 0,5.
Кілең жай сандардан құралатын геометриялық прогрессиялардың болуы мүмкін емес, өйткені – құрама сандар немесе бөлшектер. Тек бірінші мүше ғана жай сан болуы мүмкін.
1.3. Екі прогрессия араласып келген қосындылар
Прогрессиялардың формулаларын пайдаланып, көптеген қосындылардың мәндерін табуға болады.
Екі прогрессия араласып келген қосындыларды да табуға болады. Мәселен,
aрифметикалық прогрессия,
геометриялық прогрессия болсын.
қосындыны есептеп шығарайық.
Берілген шарт бойынша арифметикалық прогрессияның d айырмасы мен геометриялық прогрессияның q еселігін табу оңай.Сондықтан бұл екеуін белгілі сандар деп есептейміз. Соңғы теңдікті q – ге көбейтейік:
өйткені .Енді теңдіктің екі жақ бөлігінен де S – ті шегерейік:
мұны былай жазайық:
Бұл арада теңдіктің оң жақ бөлігіне қосылып, ол қайта шегеріліп тасталған. Жай жақшалардағы айырмалары – арифметикалық прогрессияның d айырмасы. Сондықтан:
Осыдан S- ті анықтаймыз:
Мысалы 1, 2, 4, 8, 16, 32 және 3,7,11,15,19,23 прогрессиялары үшін қорытылған формула бойынша
Мұны оңай тексеруге болады.
Енді
қосындыны есептеп шығарайық.
Мұны былай жазуға болады:
Квадрат жақшалардағы қосынлдыны былай түрлендіреміз:
Мұндағы бірінші жол:
Екінші жол:
-ші жол:
-ші жол:
Сонда:
Сөйтіп квадрат жақшалардағы қосынды
Сонда:
Бұдан:
Алдыңғы мысалдағы прогрессиялар үшін:
2. Сан қатарлары
2.1. Қатардың жинақтылығы мен қосындысы
Математикалық анализдің келелі мәселелерінің біріне тоқталар болсам ол – «Сан қатарлары» деп аталатын үлкен тарау. Ал,бұл тарауда қаралатын мәселелердің практикалық маңызы аса зор. Мәселен,элементарлық функциялардың мәндерінің таблицасын кез келген дәлдікпен жасап шығу қатарлар теориясына негізделген.
Әрине, мұндай мәселелерді білудің тұрмыста және де техникада үлкен маңызы бар. Жаратылыстану математика бағытында білім алып жүрген оқушылар үшін бұл өзіндік білім алуға, есептеу математикасын меңгеруге және де есептегіш техникаларды паидалануға үлкен маңызы бар.
Сан қатарлары.
Сан қатары. Қатардың жинақтылығы және қосындысы.
Айталық,сандардың мынадай а1 ,а2,…аn,… шексіз тізбегі берілген. Сан қатары деп а1+а2+….+аn+… (1) өрнегін айтады. а1 ,а2,…аn,… сандарын осы қатардың мүшелері деп атайды. (1)қатарды ықшамдап жазу мақсатында (2) түрінде де жазады, мұндағы гректің сигма деп аталатын ∑ бас әрпі қосу таңбасын көрсетеді.Сөйтіп қатардағы қосылғыштар саны шексіз. Бұл (2) таңбалаудың жоғарысында көрсетілген.
Енді (1) қатардың алғашқы мүшелерін қосып, қосындылар құрамыз:
(3)
Бұл қосындыларды дербес қосындылар деп атайды.
Сөйтіп, қандай да болмасын берілген сан қатары үшін дербес қосындылар тізбегін А1, А2,…, Аn,… жасап алуға болады.
Егер дербес қосындылар { Аn } тізбегінің шектелген шегі бар болса ,яғни n шексіздікке ұмтылғанда { Аn } тізбегінің шегі тиянақтай бір S санына ұмтылса, басқаша айтқанда болса, онда (1) қатарды жинақты деп, ал S санын қатардың қосындысы деп атайды.
Егер (4) шек ± ∞ болса , не бұл шек жоқ болса, онда қaтарды жинақсыз деп атайды. Мысалы.Мына қатардың
жинақтылығын тексерейік.
Шешуі. Бұл қатардың жалпы мүшесін екі бөлшектің айырмасы түрінде жазуға болады:
Енді осы теңдіктегі n-нің орнына 1,2,3 және де басқа мәндерді беріп, n-ші дербес қосындыны жазалық:
Демек n→ ∞ болғанда .Олай болса,берілген қатар жинақты және оның қосындысы -ге тең.
Бұл келтірілген мысалда берілген қатардың жинақтылығын ғана анықтап қоймай, сонымен қабат қатардың қосындысын да таптық. Бұлай жасауға есептің берілген орайы ғана мүмкіндік берді.Жалпы алғанда, қатардың қосындысын табу күрделі де қиын шаруа.
2.2. Қатар жинақтылығының қажетті шарты
Төменде дәлелденетін теорема қатардың жинақты болуының қажетті шарты деп аталады.
Теорема.Егер қатар жинақты болса, онда бұл қатардың жалпы мүшесі оның нөмірі шексіздікке ұмтылғанда нолге ұмтылады.
Дәлелдеу. Айталық, қатары жинақты болсын. Демек, жинақтылық анықтамасы бойынша және
Ал, болғандықтан
Теорема дәлелденді.
Сонымен,қатардың жинақтылығы мәселесін қарастырғанда алдымен осы қатардың жалпы мүшесінің шегін табу керек: егер бұл шек нольден өзгеше болса, онда қатардың жинақсыз болғаны.
Мәселен,
Қатары жинақсыз, өйткені оның жалпы мүшесінің шегі -ке тең.
Ал, қатардың жалпы мүшесінің шегі нөлге тең болса,онда қатардың жинақтылығы не жинақсыздығы туралы кесіп айта алмаймыз, оны әрі қарай зерттеу керек.
2.3. Шексіз геометриялық прогрессия
Енді шексіз геометриялық прогрессия мүшелерінен құрылған
қатарының жинақтылық мәселесін зерттелік. Бұл қатардың алғашқы n мүшелерінің қосындысы болғанда немесе ; формуласымен анықталатындығы белгілі.
Егер болса, онда Sn – нің болғандағы шегі санына тең, өйткені бұл жағдайда . Сөйтіп, қатар жинақты.
Егер болса, онда болғанда , демек, . Олай болса қатар жинақсыз.
Ал, болса, онда , демек, болғанда . Сөйтіп, қатар жинақсыз.
Енді жағдайын қарастыру ғана қалды. Бұл жағдайда –нің мәні n – нің жұп не тақ болуына байланысты: егер жұп болса, ал тақ болса .Демек, болғанда – нің тиянақты бір шегі жоқ. Олай болса, қатар жинақсыз.
Сонымен біз мынадай қорытындыға келдік: егер болса, геометриялық прогрессия мүшелерінен тұрған қатар жинақты және де қатардың қосындысы былай табылады:
Басқа жағдайдың бәрінде қатары жинақсыз.
Геометриялық прогрессияда болғанда, ол шексіз кемімелі деп аталады. Сөйтіп шексіз кемімелі геометриялық прогрессия қосындысы бөлшегіне тең.
2.4. Гормоникалық қатар
Қатардың жинақтылығы туралы мәселені зерттегенде гармоникалық қатар деп аталатын мына қатардың
(5)
жинақтылығын қарастырудың маңызы бар. Бұл қатардың жалпы мүшесі аn=1/n. Ал lim an=0. Ендігі мәселе гармоникалық қатар жинақты ма, әлде жинақсыз ба n→∞ деген сұрауға жауап беру. Енді (5) қатардың мүшелерін былайша топтастыралық;
(6)
Яғни мұнда бірінші жақшаны бірінші топ деп екінші жақшадағыларды екінші топ деп және сол сияқты әрі қарай топтарды нөмірледік: k-ші топтағы қосылғыштар саны 2к-1дәрежесіне тең. Әрбір топтағы қосылғыштарды осы топтағы соңғы санмен айырбастайық, қатардағы қосылғыштарды кеміткен болар едік:
Немесе
(7)
қатары келіп шығады. Ал, (7) қатардың п-ші дербес мүшесі
Sn=1+(n-1)
болғандықтан және де екендігінен (7) қатардың жинақсыздығы келіп шығады .
Олай болса (6) қатардың , демек (5)қатардың жинақсыздығы келіп шығады, өйткені (6) қатардың қосындылары 7 қатардың дербес қосындыларынан кем емес. Сонымен, мынадай теорема дәлелденді.
Теорема: 1+1/2+1/3+…+1/n+… гормониялық қатары жинақсыз.
2.5. Мүшелері оң қатарларды салыстыру белгісі
Біз мүшелері оң сандар болатын қатарларды қарастырамыз. Мұндай қатарлардың жинақтылық мәселесін зерттегенде екі қатарды салыстыру да тиімді болады. Бұл мәселе мынадай теорема арқылы шешіледі.
Теорема. Оң мүшелері бар мынадай қатар берілген:
(8)
(9)
Бірінші қатардың әрбір мүшесі екінші қатардың сәйкес мүшелерінен асып кетпейтін болсын: (10)
Егер (9) қатар жинақты болса, онда 8 қатар да жинақты болады, ал егер 8 қатар жинақсыз болса, онда 9 қатар жинақсыз болады.
Дәлелдеу. 8 және 9 қатарлардың дербес қосындыларын құралық:
,
Қатарлардың мүшелері оң болғандықтан және 10 теңсіздік орындалғандықтан
Теңсіздігі орынды болады, оның үстіне және тізбектері монотонды өспелі, 9 қатар жинақты болғандықтан шегі бар, оны арқылы белгілелік. Олай болса, теңсіздігі орындалады. Сөйтіп, тізбегі монотонды өспелі және жоғары жағынан шектелген. Олай болса, тізбегінің тиянақты бір шегі бар, демек 8 қатар жинақты. Тағы бір аңғартатынымыз теңсіздігінен келіп 8 қатардың жинақсыздығынан 9 қатардың жинақсыздығы шығатындығын көреміз. Теорема толық дәлелденді.
Практикалық есептер шығарғанда салыстыру белгісін, көптеген жағдайларда, шексіз кемімелі прогрессиямен, немесе гормониялық қатармен салыстыру тиімді болады.
1-мысал. Мына қатардың
жинақтылығын анықтау керек.
Шешуі. Бұл қатарды шексіз кемімелі геометриялық прогрессиямен
Салыстыралық, мұнда . Әрбір n>1 үшін
Теңсіздігінің орындалатындығын көру қиын емес. Ендеше берілген қатар жинақты.
2-мысал. Мына қатардың
жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. Мына теңсіздіктің орындалатындығын көру қиын емес. Ендеше, қатарларды салыстыру белгісі бойынша берілген қатар жинақсыз, өйткені жалпы мүшесі болатын қатар — гормониялық қатар, ал мұндай қатар жинақсыз болатындығы дәлелденген.
3. Математикалық қатарларға арналған есептерді шешу
3.1. Арифметикалық тізбекпен байланысқан үлкен жай сандар
Есеп. Берілген а1=1, n ≥ 2 болғанда , an= n∙an-1+(-1)n , (1) сандық тізбегінің мүшелері үшін келесі қасиеттерді дәлелдеңіз:
1) an: (n-1), мұндағы n ≥ 2;
2) an+1 : (an + an-1), мұндағы n ≥ 2;
3) an ≥ n!.
Зерттеудің мақсаты. Тізбектің есеп шартында көрсетілген қасиеттерін дәлелдеумен қоса, өзгеде қасиеттерін анықтап, дәлелдеу. Аталған тізбектің кез келген мүшесін анықтайтын жалпы формуланы қорытып шығару. bn және cn түрленген тізбектерінде үлкен жай сандардың шексіз көп екенін дәлелдеуге талпыныс жасау.
Зерттеудің міндеті.
• берілген тізбектің қасиеттерін дәлелдеу;
• тізбектің есеп шартынан өзге қасиеттерін келтіріп, оларды дәлелдеу;
• n — нің шексіз үлкен мәндері үшін тізбектің мүшелерін төменнен де, жоғарыдан да бағалауға арналған асимтоталық формула құрастыру;
• bn және cn түрленген тізбегімен байланысқан үлкен жай сандарды табу.
Зерттеудің практикалық маңызына келетін болсақ, Жай сандар бүтін сандар жиынының негізі ретінде математиктерді талай жылдан бері қызықтырып келеді. Бұл ретте 2n-1 түріндегі Мерсеннің жай сандарын, немесе 22n+1 түріндегі Ферманың жай сандарын айтуға болады. Десекте, бұл сала әлі де зертеуге тұрарлықтай. Мәселен, Мерсеннің барлығы 46 жай саны, Ферманың бар жоғы бес жай саны белгілі.
Зерттеудің нәтижесі. Зерттеу барысында тізбектің есеп шартынан өзге қасиеттерді келтіріп, n — нің шексіз үлкен мәнднері үшін тізбектің мүшелерін төменнен де, жоғарыдан да бағалауға арналған асимтоталық формула келтіріледі. Түрленген тізбектердің натурал сандар қатарында жай сандарды орналастырудағы қолданысын сипаттайтын тың гипотезалар ұсынылады. bn әне cn түрленген тізбектерінде алғашқы он мүше арасында жай сандардың орналасу тығыздығы Ферма ұсынған жай сандардан да көп. Енді негізгі мәселеге көшейік. Мұндағы бірінші қасиетті Егоров Андрей Андреевич «Элементар сандар теориясының есептері» тарауында 66- тапсырма ретінде ұсынған. Ал екінші және үшінші қасиет математика ғылымдарының докторы, профессор Д.И.Исмайлов құрастырған тапсырмалар болып табылады.
Бастапқы формуламен анықталған an тізбегінің n ≥ 2 мүшелері үшін келесі қасиет орындалады: an+1 = n∙ (an + an-1). (2)
Бұл формуланы дәлелдеу үшін алғашқы формуланы an+1 үшін жазып, (1) –ші мформулаға қоссақ жеткілікті
an= n∙an-1+ (-1)n
an+1 = ( n+1) an + (-1)n+1 = n∙ an+ an – (-1)n
an+1 = n∙ (an + an-1).
Осыдан жоғарыдағы формуланы an мүшесі үшін жазсақ болғаны, онда n > 2 үшін
an = (n-1) (an-1 + an-2 )
өрнегін аламыз.
Сонда an мүшесі (n-1) –ге бөлінетінін көруге болады.
Яғни, n≥3 болғанда an: (n-1), .Ал n=2 жағдайы тікелей есептеудің көмегімен анықталады.
Ал (2 ) формуладан an+1 : (an + an-1) (мұндағы n ≥ 2 ) екенін айқын көруге болады. Осымен 1,2-қасиет те толық дәлелденді.
Енді 3- қасиетке көшелік. Алдымен n = 1 болған жағдайда көріп отырғанымыздай, a1 = 1 болғандықтан, an ≥ n!теңсіздігі орындалады. Ал n > 1 үшін бастапқы (1) формуласын n –нің әр түрлі мәндері үшін жазып көрелік:
an= n∙an-1+ (-1)n
n∙ an-1 =n(n-1) ∙ an-2 +n(-1)n-1
n(n-1) ∙ an-2 = n(n-1) (n-2) an-3 + n(n-1) (-1)n-2
……….
n(n-1) .. ∙ 3a2 = n(n-1).. ∙3∙2∙ a1+ n(n-1).. ∙ 3(-1)2.
Алынған теңдіктердің барлығын қоссақ, онда
an = (n-1) (n-2)(n-3)x…x3∙2+ n(n-1) (n-2)(n-3)x…x3 (-1)2 +n (n-1) (n-2)(n-3)x…x4(-1)3 +…+ n(-1)n-1 + (-1)n
Немесе бірінші қосылғышты n!–ға екенін ескеріп, ал қалған қосылғыштарды Sn — деп белгілесек: an = n! + Sn (3)
Мұндағы Sn = n(n-1) (n-2)(n-3)x…x3 (-1)2 +n (n-1) (n-2)(n-3)x…x4(-1)3 +…
+ n(-1)n-1 + (-1)n
Бұл қосылғыштардан Sn қатарының кемімелі болатындығы анық. Тағы бір назар аударатын жайт, бұл бірінші қосылғыштың таңбасы оң, ал екіншісінде теріс, т.с.с қайталанып келетіндігі.
Ендеше an >n! қатарының қосылғыштарын алғашқысынан бастап қос-қостан жұптасақ, n саны жұп болған жағдайда әрбір жұптан таңбасы оң қосылғыштар аламыз, яғни Sn>0 . Ал n тақ болған жағдайда, әрбір жұптан шығатын оң қосылғыштардан басқа, тағы соңғы қосылғыш қалып қояды. Егер соңғы қосылғыштың таңбасы оң болатынын ескерсек, онда бұл жағдайда да Sn>0 болатынын таптық. Cонымен, n > 1 болған жағдайында Sn>0 болып, an >n! болатынын таптық. n=1 болғанда , an = n! орындалатындықтан, жалпы жағдайда an ≥ n! теңсіздігі орынды. Дәлелдеу керегі де осы болатын.
Теорема. Жоғарыдағы формуламен анықталған қосынды үшін
lim Sn/n!=1/e (4)
n→∞
aсимтоталық теңдік орындалады.
Дәлелдеу: Мына (3) формуланы қолдана отырып Sn –ді бөлшек қосылғыштар ретінде былай жазуға болады:
Sn =n!/2! ∙ (-1)2 +n!/3! ∙(-1)3+n!/(n-1)! ∙(-1)n-1+n!/n! ∙ (-1)n = n!( (-1)2./2!+ (-1)3/3!+…
+ (-1)n-1/ (n-1)!+ (-1)n/n!)
Немесе қосынды белгісі арқылы қысқартып жазсақ :
Sn =n!∑(-1)1/k! ( 5)
Ендігі кезекте математикалық таңдау курсынан белгілі e-1=∑x1/k! (6)
Формуласын үшін қарастырып, қосынды түрінде жазып қолданамыз. Cонда
e-1=(-1)2/2!+ (-1)3/3!+ (-1)4/4!+ (-1)n/n!+…= ∑(-1)k/k! (7)
Мұндағы
Дегенмен, бұл формуланы біздің қосындыға қолданарда кейбір жайттарды ескерген жөн. Sn – нің (5) формуласы дербес қосынды, яғни мүшелерінің саны қаншалықты үлкен болғанымен, шектеулі, ал (7) формуламен берілген қосынды шексіз. Бұл дегеніміз, Sn қосындыларының санын қаншалықты арттырсақта, тағыда En қосынды қалдығы қалып отырады дегенмен пара пар.
Ендеше Sn = n!(1/e+en)
Бұл жерде En қалдығының мәні оң да, теріс те болатынын ескерген жөн. Бұл n – нің тақ- жұптығына тәуелді.
Соңғы өрнектің екі жағын да n!-ға бөліп тастаймыз:
S/n!= 1/e + en (8)
Екінші жағынан, En қалдығының мәні (7) формуламен анықталатындықтан, n — нің үлкен мәндерінде нөлге ұмтылатыны анық,
Яғни, lim En=0
n→∞
Немесе, жоғарыдағы Sn –нің формуласына шек ұғымын енгізетін болсақ, онда
lim S/n!= 1/e (9)
n→∞
Осымен ұсынылып отырған теорема дәлелденді.
Ендігі жерде теорема нәтижесін (3) формулаға қолданамыз.
Lim an/n!=lim(n!+ Sn/n! )=1+ lim (Sn/n!=1+1/e)
n→∞ n→∞ n→∞
Осымен Lim an/n!=1+1/e (11)
n→∞
(11) формула an тізбегін n – нің үлкен мәніндегі мүшелерін жуықтап есептеуге немесе бағалауға мүмкіндік береді. Егер (11)формуладағы e – ге кіші мән берсек, ол формуланы жоғарыдан бағалау болады. Ал керісінше үлкен мән берсек, онда формуланы төменнен бағалау болады.
Біздің бағалауымызды e ≈ 2.8 үшін жүргізейік. Сонда an≥ n! ( 1+1/14/5) немесе an ≥ 19/14∙ n! шығады. Бұл n≥4 болғанда тізбектің мүшелерін төменнен бағалауға мүмкіндік береді.
Ал егер, e ≈ 2.7 деп алсақ, онда an ≤ n! (1+1/27/10) немесе an ≤37/27 ∙ n!
Бұл n≥ 5 болғанда тізбектің мүшелерін жоғарыдан бағалауға мүмкіндік береді.
Ендігі кезекте жұмысымыздың өзегі болып отырған берілген тізбектің түрленген түріне назар аударайық.
Cn= an — n
Бұл тізбектің бірнеше мәндерін n – ға белгшілі бірсандық мән бере отыра, тікелей есептеу жүргізсек:
C3=5
C4=29
C5=8517813719
Көріп отырғанымыздай, Cn тізбегінің C3 бастап келтірілген мүшелерінің бәрі жай сандар. Бірақ, жай сандардың орналасу жиілігі C5 мүшесінен бастап бұзылады. Дегенмен зерттеу барысында C19= 166395831968477087
C22=1537497487388728459859
18 таңбалы C19 және 22 таңбалы C22 жай сандар болатынын таптық.
bn = an + n
Алдымен бұл тізбектің бірнеше мәндерін n –ға белгілі бір сандық мән бере отыра, тікелей есептеу жүргізсек:
b1= a1+1
b2 = a2+2
b3 = a3+3
b4 = a4+4
b6 = a6+6
b10 = 4963771
Көріп отырғанымыздай, bn тізбегінің b5 өзге келтірілген мүшелерінің бәрі жай сандар. Бірақ жай сандардың орналасу жиілігі b7 мүшесінен бастап кемиді.
Дегенмен ары қарай b21= 69886249426760384561
b28=417050498447157283182397595701
Жай сандар болатынын анықтадық.
Жұмысымызда 30 таңбалы b28 санының, жай сан екендігін анықтау, біздің үлкен жетістігіміздің бастамасы деп білеміз..
Гипотеза: bn және Cn тізбегінде жай сандар шексіз көп.
Егер бұл гипотезаны дәлелдесек, бұл математикаға үлкен бір септігін тигізеді деп ойлаймыз. Себебі, бүгінгі күнге дейін натурал сандар тізбегінде жай сандарды орналастыруда тек бірінші немесе екінші дәрежелі функциялар ғана қарастырылған. Ал біздің тізбегіміз, факториалдан да үлкен, демек, жоғары дәрежелі болып табылады.
Сондай- ақ, алғашқы он мүше арасында жай сандардың орналасу тығыздығы Ферма ұсынған жай сандардан да көп екені мәлім. Дегенмен, бұл гипотеза әлі дәлелденген жоқ. Бірақ мұнда жай сандар өте жиі кездеседі.
3.2. Математикалық қатарларға арналған физикалық есептер
1- ші есеп.Резисторлар саны 1,2,4,8,16,32,… болатыншексіз бөліктерден тұратын электр тізбегінің жалпы кедергісін табыңыз. Әрбір регистордың кедергісі R (1- ші сурет)
Есеп шешу логикасы, көбіне мынадай болып келеді. Өзара тізбектей қосылған әрбір бөліктердің өзіндік жалпы кедергісі болғандықтан, олардың шексіз арифметикалық қосындысы шексіз болады, яғни Rж = ∞.
Бұл әрине дұрыс емес.
Алдымен бөліктердің өзіндік жалпы кедергісін табайық. Әрбір бөлік өзара тең әрі параллель жалғанған резйсторлардан тұрғандықтан, оның өзіндік жалпы кедергісі мынаған тең болады: Ri ═ R/n
Мұндағы i– бөліктің реттік нөмірі, ал n – осы бөліктегі резисторлар саны.
Енді тізбектегі бөліктердің өзіндік кедергілерін реттік санына сәйкес қатарластыра жазайық: R, R/2, R/4, R/8, R/16, R/32,…
Бұл қатар, әрине көбейткіші ½- ге (q ═1/2) тең кемімелі геометриялық прогрессия болып табылады. Келтірілген қатардың қосындысы тізбектің жалпы қосындысына тең Rж ═R+R/2+R/22+R/23+R/24+…+R/2n+…
Геометриялық прогрессия қосындысының формуласы бойынша, бұл қосындыны былай ықшамдайық R═ lim(R-Rq/ 1-q)
n→ ∞
Мұнда q ═ 1/2 < 1 болғандықтан, lim Rqn ═ 0 болады, сондықтан Rж ═ R/1-q ═
n→ ∞
═ R/1-1/2 ═ 2R
Бұл есеп тәжірибе жүзінде кездеспегенімен, жауабының кенеттілігімен ерекшеленеді. Және жоғарыдағы көрсетілген шешу жолының құндылығы, ол геометриялық прогрессия қасиеттерімен тығыз байланысты.
2 – ші есеп. Әрбір резисторларының кедергісі R–ге тең 2- ші суретте көрсетілген шексіз тізбектің жалпы кедергісін анықтаңыз.
Бұл жолы 1-ші есептегі тізбекпен ұқсастыра отырып, жалпы кедергінің тиянақты мәнін іздестірдім. Шын мәнінде осы жерде ойда жоқта күтпеген жауап алдым…
1-ші есептің шешу тәсілін қолдана отырып жалпы кедергіні тапсақ, ол шексіз гормониялық қатардың қосындысына тең болады:
Rж ═ R+R/2 +R/3 + R/4 +…+ R/n
Бұл қатардың үйлесімсіз, яғни R═ ∞ екенін көрсетейік. Ол үшін гормониялық қатарды үйлесімсіздігі оңай дәлелденетін басқа қатармен салыстырайық:
R [ 1+1/2 + (1/3+1/4)+(1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8)+(1/9 + 1/10 + … + 1/16) + …]
R [ 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 )+( 1/8 +1/8 +1/8 + 1/8 ) + (1/16 +1/16 + …+ 1/16 ) + …]
Астыңғы қатардағы жақшаға алынған әрбір топтың қосындысы 1/2 — ге тең. Ал осындай топтар саны шексіз болғандықтан олардың, яғни астыңғы қатар, қосындысы шексіз болады.
Енді бұл екі қатарды өзара салыстырсақ, үстіңгі қатардың әрбір мүшесі төменгі қатардың әрбір сәйкес мүшесінен көп немесе тең екеніне көзіміз анық жетеді. Осы себепті біздің гормониялық қатарымыз тіптен үйлесімсіз болады. Яғни берілген тізбектің жалпы кедергісі Rж ═ R∙ ∞ = ∞ . 3 – ші есеп.Бір – біріне үйлестіріліп кигізілген шексіз көп квадраттардың төбелерінде орналасқан барлық зарядтардың ең кіші квадрат центрінде тудыратын электр өрісінің потенциалын табыңыз (3 –ші сурет) . Ішкі квадрат қабырғасының ұзындығы а- ға тең, ал барлық зарядттар аттас және өзара тең.
q1 = q2 = q3 =…= qn = …=q 3 – ші суретке зер салып қарасақ, тақ нөмірлі квадраттар көлденең, жұп нөмірлі квадраттар көлбеу орналасқан. Нөмірлері n – ші квадратта орналасқан төрт зарядтардың квадраттар центріндегі потенциалы мынаған тең γn = 1/4π€0∙ 4q/Rn
Мұндағы Rn – квадрат центрінен зарядқа дейінгі қашықтық. 3 – ші суретке жүгіне отырып Rn – ді есептесек, онда төмендегідей тізбектерді аламыз:
R1 = a√2/2 ; R2 = a ; R3 = a√2/2 ∙ 2 ; R4= a ∙ 2 ;
R5= a√2/2∙ 4 ; R6 = a ∙ 4; R7 = a√2/2∙ 8 ; R8 = a∙ 8,
Енді тақ және жұп квадраттарда орналасқан зарядтардың потенцияларын тапсақ, онда:
γ’ = 1/4π€0∙ 4q/a√2/2 ∙ ( 1+1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…)
γ’’ = 1/4π€0∙ 4q/a∙ ( 1+1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 +…)
Бұл екеуінің қосындысы іздестіріп отырған жалпы потенциалға тең болады:
γ = γ’ + γ’’ =1/4π€0∙ 4q/a ( 2/√2 + 1) [1+1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…]
Тік жақшада келтірілген өрнек кемімелі шщексіз геометриялық лрогрессия болғандықтан оның қосындысы 2 –ге тең болады.(1 – ші есептегідей)
Яғни:
γ =1/4π€0∙ 8q/a ( 2/√2 + 1) .
Қорытынды
Бұл ғылыми жобада, қазіргі сан салалы математика ғылымының ішінен «Сан қатарларын» таңдап алған себебім сандардың орналасу заңдылықтары мені қатты қызықтырады. Төменгі сыныптарда осы заңдылықтар сырын ұқпай қиналып жүрдім, математикаға тереңірек көңіл бөлу арқасында сан қатарлары маған сырларын аша бастады. Зерттеу барысында, көкейде туындаған сұрақтарға жауап алу үшін ғылыми әдебиеттердегі осы тақырыпқа байланысты материалдарды зерттедім. Зерттеу барысында натурал сандар қатарының шығу тарихына тоқталдым. Прогрессиялар мен қосындылар тарауында арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың формулаларын қорытып шығарып, осы тақырыпқа арналған есептерді берілуіне қарай 10 типке бөлдім. Екі прогрессия араласып келген қосындыларды есептедім.
Сан қатарлары тарауында, катардың жинақтылығын және қатардың қосындысын, шексіз геометриялық прогрессияны және гормониялық қатарды қарастырдым.
Осы жобамның құндылығы «Математикалық қатарларға арналған есептер» атты тараумен бағаланады ғой деп ойлаймын , себебі мен бұл тарауда сан қатарларының қолданыс аясын көрсеттім. Бүгінгі таңда математикалық пән олимпиадасы өзге пәндермен салыстырғанда кең етек алып, қарқынды түрде дамып келе жатқаны мәлім. Аймағымызда математикалық сайыстардың халықаралық көлемге ұштасып жататыны қуанышты жайт. Десекте, аталған сайыстар тапсырмаларының талабы төмен болғандықтан толық зерттелмей, мардымды қасиеттері еленбей қалатыны тағы бар. Менің бұл жұмысым, өзім сияқты математикаға қызығып оқып жүрген оқушыларға, осындай тапсырмаларды еркін орындап, математика саласында жетістікке жетуге септігін тигізеді деп ойлаймын..
Жобаны жазу барысында өзім сияқты оқушыларға түсінікті болуын көздедім. Сандар қатарын зерттеу барысында өзіне тән ерекшеліктеріне қарай әр түрлі қиындықтарға кезіктім. Сол қиындықтарды жеңу үшін ұзақ уақыт ғылыми әдебиеттермен жұмыс істедім. Алдағы уақыттағы, алдыма қойған мақсатым, арифметикалық тізбекпен байланысқан үлкен жай сандар тізбегі есептеу үшін программалау тілінде бағдарлама құрастырсам деймін.
Менің бұл жұмысымды сандар әлеміне қызығып сырын ашқысы келетін әр оқушы өз бетімен немесе сыныптан тыс жұмыстарда пайдаланады деп ойлаймын.
Ғылыммен шұғылданғысы келетін талапты құрбыларыма сәттілік тілеймін.
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Акимова С. “Занимательная математика”. Санкт-Петербург, “Тригон”, 1998, 248-250 бет.
2. Аменицкий Н.Н. «Забавная арифметика» Москва, 1991, 45-48 бет.
3. Березин В.Н. «Сборник задач», Москва 1985, 13-17 бет.
4. Депман И.Я. Вилекин Н.Я. “За старницами учебника математики”. Москва “Просвещение”, 1989, 62, 88, 95 беттер.
5. Депман И.Я. «Из истории математики» Москва, 1950.
6. Жолымбаев О.М. «Жоғары математика». Алматы «Эверо» ЖШС, 2004, 98-107 бет.
7. Закарин А. «Математика ғылымдарының өмірі мен ғылыми еңбектері». Алматы «Қазақстан», 1968, 80-85 бет.
8. Исқақов М.Ө. Назаров С.Н. “Математика мен математиктер жайлы әңгімелер”. Алматы, “Мектеп”, 1970, 179, 213-224 бет.
9. Қаражанұлы Т. “Математика”. Алматы, 2000, 99-129бет.
10. Қабдықайр Қ. «Жоғары математика» Алматы “Мектеп”, 1970, 245-263 бет.
11. Перельман Я.И. «Занимательная алгебра» Москва, 1955, 157-165 бет.
12. Серпинский В. “Жай сандар туралы білетіндеріміз бен білмейтіндеріміз”. Алматы “Мектеп”, 1972, 53 бет.
13. Саханов Н, Жаңбырбаев Б. «Жоғары математика», Алматы «Қайнар», 1993, 314-329 бет.
14. Ткачева М.В. «Домашняя математика» Москва, 1993.
15. Шустер Ф.М. «Материал для внеклссной работы по математике» Минск, 1968.
