Геометриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысы

Қызылорда  облысы, Қызылорда қаласы,  Ақжарма ауылы
№218 орта мектебі математика  пәнінің мұғалімі
Мырзалиева Индира Кемалиқызы

Сабақтың мақсаты:
Білімділік: Геометриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысының формуласымен танысып, формуланы есептер шығару барысында пайдалана білуге үйрету. Сабақты геометриялық прогрессияның шығу тарихын айта отырып түсіндіру.

Дамытушылық: Оқушылардың ойлау қабілетін, танымын, пәнге қызығушылығын арттыру.

Тәрбиелік: Оқушылардың ғылыми көзқарасын қалыптастыру, стандартты емес есептерді шығаруға үйрету.

Құрал-жабдықтар: Мультимедиялық тақта, компьютер, проектор, плакаттар

Сабақтың түрі: Аралас сабақ

Сабақтың типі: Жаңа тақырып түсіндіру

Сабақтың әдісі: сұрақ-жауап, проблемалық жағдай туғызу, жеке, жұппен

Сабақтың барысы:

1. Ұйымдастыру кезеңі
2. Үй тапсырмасын тексеру
3. Өткенді қайталауға сұрақтар
4. Жаңа тақырыпты түсіндіру
5. Жаңа сабақты бекіту
6. Үй тапсырмасын беру
7. Оқушыларды бағалау
8. Қорытындылау
9. Ұйымдастыру кезеңі:

• Балалармен амандасу, түгелдеу;
• Сыныптың сабаққа әзірлігін бақылау;
• Сабақтың мақсатымен таныстыру

1. Үй тапсырмасын тексеру

№1

Табу керек:  b₅

Шешуі: в₅═4*3⁴═4*81═324

1. Өткенді қайталау сұрақтары:

№	Арифметикалық прогрессия	Геометриялық прогрессия
1	1. Арифметикалық прогрессияның анықтамасын тұжырымдаңдар.	1. Геометриялық прогрессияның анықтамасын тұжырымдаңдар.
2	2. Қандай санды арифметикалық прогрессияның айырмасы деп атайды.	2. Қандай санды геометриялық прогрессияның еселігі деп атайды.
3	3. Арифметикалық прогрессияның қасиеті.	3. Геометриялық прогрессияның қасиеті.
4	4. Арифметикалық прогрессияның n мүшесінің формуласы.	4. Геометриялық прогрессияның n мүшесінің формуласы.
5	5. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы.	5. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы.

 

4. Жаңа сабақты түсіндіру.

Сабақты түсіндірмес бұрын тарихқа тоқтала кетейік:

Прогрессиялар мен тізбектер жөніндегі ілімнің алғашқы нышаны мысырлықтар мен вавилондықтардан басталады.

Геометриялық прогрессияның ертедегі есептерінің көпшілігі, прогрессия мүшелерінің ойламаған жерден өсіп кетуімен адамдарды таң қалдырған екен.

Мысалы «Үндінің патшасы Шерамның шахматты ойлап тапқан ғалым Сетаға сый бергісі келіп сұрады. Сонда ол шахматтың 1-ші шаршысына 1 бидай, 2-ші шаршысына 2 бидай, 3-ші шаршысына 4 бидай т.с.с беруін сұрайды. Патша келіседі. Бірақ есептей келе шахматтың 64 шаршы ұяшығына беретін бидайдың саны дүние жүзінің астығына жетпейтін орасан зор  көп сан шығады». Сонда есептей келе мынадай сан алған 18 446 744 073 709 551 615. Бұл есепте бірінші мүшесі 1-ге, еселігі 2-ге тең геометриялық прогрессия беріліп тұр. 64 мүшесінің қосындысын табу керек.

Ол үшін біз формула қорытып шығарайық:

(1)

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесін пайдалансақ, онда (1) теңдеуді былайда жазуға болады

(2)

(2) теңдіктің екі жағында  q-ге мүшелеп көбейтсек, (3) теңдікті аламыз

(3)

(2) теңдіктен (3) теңдікті мүшелеп азайтсақ, онда

 

 

Ортақ көбейіткіштерді жақшанын сыртына шығарсақ, онда

 немесе

 

 

Сонымен, еселігі  q≠1 геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы.

Бірінші мүше және 1 саны мен n-ші дәрежелі еселік айырымына көбейтіндісін 1 саны мен еселік еселік айырымының қатынасына тең болады.

Егер q болған жағдайда, геометриялық прjгрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу үшін мына формуланы қолданған ыңғайлы:

 

Мысалы: Табу керек:  S₅   Егер геометриялық прогрессияның  в₁ =  – 4, q = 2 болса.

Шешуі:

 

5. Жаңа сабақты бекіту.

 

1. 1.                      Оқулықтан №222 есеп

2. Тест жұмысы

1.Геометриялық  прогрессияда:    3; -6; …   болса, оның алғашқы  алты мүшесінің  қосындысын  табыңыз:

A)  -61   B)  -63   C) -126   D)   63   E)   126

2. Геометриялық  прогрессияда:    в₁ = -4,  q = 3 болса, оның алғашқы  жеті мүшесінің  қосындысын табыңыз:

A) – 4372  B) – 4378   C) – 4272  D) – 4376  E)  – 4278

3 Геометриялық  прогрессияда: q = 2,   S₇ = 635   болса, осы         прогрессияның  алтыншы мүшесін  табыңыз:

A) 320     B)  80      C) 640      D) 560      E) 160

4. в₁ = 2,  S₃ = 26 өспелі геометриялық прогрессиясының төртінші мүшесін табыңыз:

                      A) 32    B)    56      C) 162      D) 48         E) 54

 

3.Стандартты емес есептер:

№1 Бір бай үйіне жүгіріп келіп мақтанады. Ақшама ақша қосылады, керемет тағы байлығым арта түсетін болды деп. Бір ақымақ өзі келіп маған күніне 100 000 рубль берем, маған 1 тиын, екінші күні 2 тиын, 3-ші күні 4 тиын, 4-ші күні 8 тиын беріп тұр,-деді. Осылай бір ай бойы әкеп беретін болды, деп мақтанады.

Содан 7 күн өткенде бай әлгі адамға бар болғаны осындай ақша төледі.

1 коп.+2 коп.+4 коп,+8 коп.-16 коп.+32 коп. 4-+64 коп. = 1 руб. 27 коп.  

Бай 1 айға келіскеніне өкініп жүреді. Осылай 30 күн өтеді. Бай әлгі адамға неше рубль берді. Бұл оқиға немен аяқталды?

Бай алды:  100 000 ∙ 30 = 3 000 000     – 3 миллион рубль

Бай төледі:  в₁ =100 000 ,  q = 2     S_{30 =  =} 10 734 418,23      рубль, яғни 10 млннан коп.

№2

 “Ат сатып алу”  есебі

 

Біз Магницкийдің ежелгі арифметикасынан мынадай қызықты есеп шығарып көрейік.

Бір кісі 156 сомға ат сатқан. Ат сатып алушы адам айнып қалып атты иесіне қайтарып беріп жатып былай дейді:

-Бұл бағаға тұрмайтын атты  осыншама ақшаға сатып алар ойым жоқ. Сонда сатушы кісі басқа шарт ұсынған:

Егер сеніңше аттың бағасы қымбат болса, онда оның тағаларының шегесін сатып ал, сонда атты шегелерге қосымша ретінде тегін аласын. Тағаның әрқайсысында 6 шегеден бар. Бірінші шеге үшін маған бар болғаны    тиын , екінші шеге үшін   тиын, үшінші шеге үшін 1 тиын т.с.с.

Сатып алушы адам арзандығына қызығып және тегін ат алғысы келіп, сатушы кісінің шартын қабылдаған. 10 сомнан артық төлемеспін деп дәмеленген. Сатып алушы адам қанша зиян шекті.

Шешуі: b_n геометриялық прогрессиясын қарастырайық,  мұндағы  b₁=,  q= 2,  n = 24.

Қосынды мынаған тең

 

Бұл жуықтап алғанда 42 мын сом болады. Мұндай жағдайда қынжылмай атты тегін беруге болады.

6. Үйге тапсырма:

• · Міндетті: Оқулықтан №225 есеп
• · Ерікті: Тарихи есеп: «Жауынгерлік борышын өтеп болған жауынгерге 1-ші жарақаты үшін 1 тиын, 2-ші жарақаты үшін 2 тиын, 3-ші жарақаты үшін 4 тиын т.с.с. сыйлық берілген. Бәрін есептегенде жауынгер барлығы 655 сом 35 тиын сыйлық алған. Осы жауынгердің қанша жарақат алғанын табыңдар»

7. Оқушыларды бағалау

8. Қорытындылау

• · Не қиындық туғызды есеп шығару барысында?
• · Сабақ несімен есте қалды?