Оқушылар шығармашылығы

Прогрессиялар

Шығыс Қазақстан облысы, Семей қаласы,
№ 34 жалпы білім беретін орта мектебінің
жоғары санатты математика пәнінің мұғалімі
Масақбаева Сайра  Сабырханқызы

Оқушының ғылыми жобасы

Бағыты: Экономикалық және әлеуметтік процестерді математикалық моделдеу.
Секциясы: Математика    Тақырыбы: Прогрессиялар

Авторы: Қазымова Еркежан 8 «Д» сынып оқушысы

Аннотациялар

«Прогрессиялар» ғылыми жобасында, «Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?», «Біздің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай?» — деген сұрақтарға толық жауап берілген.    Зерттеу  барысында   сан қатарларының шығу  тарихынан  мәліметтер берілген.  Оқушы жұмысын үш үлкен тарауға бөліп, сәтті жүйелеген.

Ғылыми әдебиеттерге шолу тарауында:Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланғанын, Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…т.с.с оқушылар үшін тың мәліметтер берген.Пифагор зерттеген, геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді,Фиббоначчи қатарын зерттеген.Ертедегі Индия аңызы, атты тараушаларда негізінен ғылыми әдебиеттерден алынған материалдарды жақсы жинақтаған. Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар тарауында, қазіргі заманғы оқулықтарды қолдану арқылы, көптеген есептерге талдау жасаған. Прогрессиялардың қолданыс аясы тарауының материалдары, негізінен ғаламтордан алынған аясын кеңінен қарастырған. Бұл материалдарды тереңдетіп оқытылатын сыныптарда, сыныптан тыс жұмыстарда, математика үйірмелерінің сабақтарында тағы сол сияқты көптеген жерде пайдалануға болады. Бұл оқушылар үшін өте құнды материал.

Жобаның мақсаты: Прогрессияларға анықтама беріп, оның қасиеттерін тұжырымдау. Мүмкіндігінше арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қолданыс аясын көрсету.

В работе дается ответ на вопрос: когда и в связи с чем появляется понятие, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Для этого сделан анализ учебников по алгебре разных авторов, в которых найдены задачи на прогрессии. Сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле.Работа ученика разделена на три большие разделы, дается свежий взгляд на данную проблему. Актуальность исследования (Почему это важно для нас?) Найден ответ на вопросы: имеет ли изучение последовательности чисел какое — либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Данный материал может быть использован в классах с углубленным изучением математики, во внеклассной работе, в работе математических кружков и так далее. Эта работа представляет собой ценный материал для учащихся

The scientific reasurch project is called the arithmetical and geometrical progression in the environment. When was used the mean of “sequence”? Why? What find of place in our really life? That question was fall answered. In this scientific project the numbers dividend sings were investigated duper. It gives the information from the development history of the number arts. The pupils project was divided into 3 parts. The dividend numbers formula was written by Arhimed’s work. How did Arhimed measure the square of circle? , all the information‘s was given for pupils. Pifagor was reasurched the geometrical figures and the dividend numbers and Fibbonachi’s number dividend rows. The problems of compositional number dividend gathered from the Indian legends and other scientific literatures materials. We tried to give the explanation of the elements of dividend sings. These materials you will use in the special classes, non class, in the lessons of mathematical circles and others. The aim of project: is to investigate the dividend sings. Using the arithmetical and geometrical progression we gave the elements of dividend sings explanation as possible.

Пікір

«№34 жалпы білім беретін орта мектеп» мемлекеттік мекемесінің8 «Д» сынып  оқушысы  Қазымов Еркежан Бауыржанқызы  «Прогрессиялар» атты ғылыми  жобаны  жазу  барысында  көп  еңбектенді.   Мектептегі  және  қалалық барлық  кітапханаларда  ұзақ  уақыттар жұмыс  жасады. Жобаны  дайындау  кезінде  Сан қатарлары, тізбектері ұғымын, сандардың орналасу заңдылықтарын толық зерттеді. Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланғанын, Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…т.с.с оқушылар үшін тың мәліметтер берген. Пифагор зерттеген, геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді,Фиббоначчи қатарын зерттеген.Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар тарауында, қазіргі заманғы оқулықтарды қолдану арқылы, көптеген есептерге талдау жасаған.

Прогрессиялардың қолданыс аясы тарауының материалдары, негізінен ғаламтордан алынған аясын кеңінен қарастырған. Еркежан өзінің   табандылығы  мен білімділігінің  арқасында, Арифметикалық және геометриялық прогрессияны толық меңгеріп, қиындығы жоғары есептерді еркін шығаруға жетісті. Жобада  тек  қана  оқушылар  емес,  мектеп   мұғалімдеріне  де  қажетті   көптеген  мағлұматтар  бере  білді.

Еркежан  өмірде  де,  өте  талапты ізденімпаз  қыз. Сыныпта  сыйлы, кез  келген   іске  жауапкершлікпен   қарайды.Еркежанның  болашағынан   ұстаздары зор   үміт   күтеді.

Ғылыми жетекшісі:Масакбаева Сайра Сабырханқызы

Мазмұны:

Кіріспе……………………………………………………………………………………..3,4

1тарау. Ғылыми әдебиеттерге шолу

1.1.  Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар. ………………………………………5

1.2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер…………..6

1.3. Фиббоначчи қатары………………………………………………..6-8

1.4.Ертедегі Индия аңызы………………………………………………8-9

2 тарау. Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар

2.1. Арифметикалық прогрессия…………………………………………10,11

2.2. Геометриялық прогрессия…………………………………………11,12

3 тарау. Прогрессиялардың қолданыс аясы.

3.1. Геометриялық есептерді шешуде қолданылады……………………13-16

3.2. Өнеркәсіптегі прогрессия……………………………………………17

3.3. Биологиядағы прогрессиялар……………………………………..17-19

3.4. Прогрессияның банктердегі есептеулерде қолданылуы…………19

3.5. Қиял ғажайып есебіндегі прогрессия……………………………….19

3.6.Орыс әдебиетіндегі прогрессия…………………………………….19,20

Қорытынды………………………………………………………………21

Пайдаланылған әдебиеттер………………………………………………………………….22

Кіріспе

Біз, математика сабақтарында, математика бұл – өте көне ғылым және оның  адамдардың күнделікті қажеттігінен туындағаны жайлы көп естідік. Осы орайда,прогрессияныңда маңызы зор екенін көреміз.

Бұл жұмыста, прогрессияның күнделікті өмірдегі алатын орны жайлы айтылады. Ол үшін әр түрлі авторлардың жазған алгебра оқулықтарындағы прогрессияға берілген есептер талданды. Тізбектерге байланысты байланысты тарихи мәліметтер жинақталды. Әр түрлі шаруашылықтардағы прогрессияның қолданылуына мысылдар келтірілді. Геометриялық прогрессияның,  жер бетіндегі тірі ағзалардың  көбеюіне, әсеріне талдау жасалды.

Зертеудің көкейтестілігі: Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?

Бідің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай? — деген сұрақтарға жауап береді.

Осы сұрақтарға жауап тауып, математика өте көне ғылым және ол адамдардың күнделікті қажеттілігінен туындағанын тағыда бір дәлелдегім келді.

9 сынып оқулықтарынан прогрессияны оқып үйрендім; анықтамасын тұжырымдадым;

Формула бойынша мүшелерін тауып үйрендім; алғашқы мүшелерінің қосындысын таптым. Оқып үйрене келе, көптеген сұрақтар туындады.

Сол сұрақтарға әсіресе, прогрессия шын мәнінде күнделікті өмірімізде маңызды орын алама? – деген сұраққа жауап табуға тырыстым.

1.Төмендегі мәселелерді анықтадым.

– Қашан және қандай қажеттіліктен, адамдарда тізбек ұғымы пайда болды?

– Біздің жағдайымыздағы прогрессия

– Зерттеліп отырған мәселені шешуде, қай ғалымдар, үлкен үлес қосты.

2. Әр түрлі оқулықтардағы прогрессияға байланысты есептерді оқып үйрендім.

3. Бактериялардың белсенді көбеюіндегі, медицинадағы,   фармакологиядағы, ауыл шаруашылығындағы, геометриялық прогрессияның, қолданыс аясының кеңдігін көрсеттім.

Зерттеу барысында:1. Мектеп оқулықтарын, математикалық анықтамалық әдебиеттерін, математика тарихына байланысты әдебиеттерді, интернет материалдарын талдадым.2.Мектеп оқулықтарындағы есептерді сараладым.3.Биология, экология оқулықтарынан және медициналық анықтамалықтардан алынған мәліметтерді жалпыладымЗаманауи оқулықтардағы практикалық мазмұнды есептерді қарастырдым.

Сонымен, прогрессия термині латын тілінен алынған, (progression, алға жүру дегенді білдіреді) және рим авторы Боэци (VI ғ) енгізген.

Бұл терминмен алғашында әр түрлі заңдылықтар бойынша бір бағытта жалғаса беретін, әр түрлі тізбектерді атайтын болған. Қазір прогрессия термині алғашқы мағынасында қолданылмайды. Ең маңызды екі прогрессия арифметикалық және геометриялық прогрессия өз атын сақтап қалды. Арифметикалық және геометриялық атаулары ежелгі гректер оқып үйренген үзіліссіз пропорциялар теориясынан ауысты. Прогрессияларға байланысты алғашқы мәліметтер, бізге Ежелгі Грецияның құжаттарынан жетті.

Ежелгі Египетте б.э.д Vғасырда гректер прогрессиялар және олардың қосындылары жайлы білді:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Прогрессияға қатысты кейбір формулалар, қытайлық және үнділік ғалымдарға да белгілі болды (V ғ.)

Кез келген шектеулі геометриялық прогрессияны қосудың жалпы ережесі, 1484 жылы жарыққа шыққан Н. Шюктің «Сандар туралы ғылым» кітабында кездеседі. Германияда жас ғалым Карл Гаусс (1777-1855) әп — сәтте 1 ден 100ге дейінгі сандардың қосындысын, бала күнінде есептеп шығарды            1+2+3+4+…+98+99+100  = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50 =5050.

Кез кеген шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын  17-ғасырдың бірінші жартысында бірнеше математиктер ұсынды, олардың ішінде франсуз математигі Пьер Фермада бар еді.

Жекелеген арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдарын тіпті ежелгівавилиондық және гректік төрт мыңжылдық және одан да көп жыл бұрынғы  жазбалардан кездестіруге болады. Ежелгі грецияда б.э.д бес жүзжыл бұрын мынадай қосындылар белгілі болды:

1+2+3+…+n=½n(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n2;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

Б.э.д екінші мыңжылдыққа қатысты, Вавилиондық кестелерде,сол сияқты египеттік папирустарда , арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдары кездеседі. Бізге ежелден жеткен прогрессияның есептері адамдардың күнделікті тіршілігімен тығыз байланысты: тағамдарды бөлісу, енші бөлу т.с.с.

Ертеде есепшілер көбіне тастардың көмегімен санады, оларды  дұрыс фигуралар түрінде жинай білді.[4]

1тарау. Ғылыми әдебиеттерге шолу

А1.1 Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар.

Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланған.

Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…

Алғашында Архимед дөңгелекке алтыбұрышты іштей сызды, сосын әр қабырғасына теңбүйірлі үшбұрыштарды салды – онекібұрыш пайда болды.

Біртіндеп қабырғаларды екі еселей отырып, Архимед 24- бұрышты, 48- бұрышты,  ақыр соңында 96- бұрышты алды. Салынған көпбұрыштар біртіндеп дөңгелектің ауданын жапты. Бұл әдіс Архимед өлген соң 2200 жылдан кейін заманауи геоиетрия оқулығының беттерінен көрінді.

Архимед өз зерттеулерінің барысында, еселігі ¼ болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысын тапты, бұл математикадағы шектеусіз тізбектің алғашқы мысалы еді.

Кейбір геометриялық және механикалық есептерді шешуде, Архимед натурал сандардың квадраттарының қосындысының формуласын қорытып шығарды алайда бұл формула оған дейін белгілі еді:

Прогрессиялар арасындағы байланысқа бірінші болып, ұлы Архимед назар аударды.Архимедтің ойлары, 1544 жылы неміс математигі Михаил  Штифелдің  «Жалпы арифметика» деген кітабы жарыққа шыққанда белгілі болды. Ол төмендегідей таблица құрды:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
1/6 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128

Жоғарғы жолда айырмасы 1ге тең арифметикалық прогрессия, төменгі жолда

еселігі  2ге тең геометриялық прогрессия орналасқан.

Егер an·am=an+m  және  am:an=am-n тепе теңдіктерін ескерсек Штифелдің төменгі жолын былай жазуға  болады: [9]

1/6 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 128
2-4 2-3 2-2 2-1 20 21 22 23 24 25 26 27

1.2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер.

Пифагор (IV ғ.б.э.д) және оның оқушылары геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді қарастырды. Үшбұрыштардағы, квадраттардағы, бесбұрыштардағы сандар тобын есептей келе, олар төмендегідей қорытындыға келді.

—  үшбұрышты сандар тізбегі п ) 1, 3, 6, 10, 15, … ;

—  квадраттық сандар тізбегі (bп1, 4, 9, 16, 25, … ;

—  үшбұрышты сандар тізбегіп) 1, 5, 12, 22, 35, ..

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

а1 = 1, а2 = 1 + 2, а3 = 1 + 2 + 3, ап = 1 + 2 + 3 + … + п.

Сондықтан:  ап = (1 + п ):п.

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

b1= 1, b2 = 1 + 3, bз = 1 + 3 + 5, …, bn = 1 + 3 + 5 + … + 2п- 1.

бұдан, bn =(1+2n-1):2·n;  bn=n2. Сандардың квадраттарының формуласына келдік.

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

с1= 1, с2 = 1 + 4, сз = 1 + 4 + 7, …,  сn = 1 + 4 + 7 + … +(1+3( п- 1)).

Бұдан, сn =(1+1+3( п- 1)):2·n;  сn=(3n-1)·n/2 [4]

1.3. Фиббоначчи қатары.

Фиббоначчи қатары. Европалықтарда кез келген арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесі, алғаш рет Леонардо Пизанскидің шығармасында кездесті  «Книга об абаке» (1202 г.)

«Книге абака» сол замандағы Батыс Европада математиканың дамуында маңызды роль атқаратын  барлық арифметикалық және алгебралық мәліметтер жарияланды. Европалықтар осы кітап арқылы үнді, араб цифрларымен танысты.  Фибоначчидің ең танымал «қояндардың көбеюі туралы » есебі, Фиббоначчи тізбегінің анықталуына алып келді.

Фибоначчи есебі:

Бір адам қояндар жұбын, қоршалған бір жерге орналастырды. Ол бір жылда қанша қояндар жұбы туатынын білгісі келді. Қояндардың табиғатында, әрбір жұп бір айдан соң, дүниеге бір жұп әкеледі; ал қояндар туғаннан кейін екі айдан соң балалайды.

Егер біз алғашқы жұптың жаңа туғанын ескерсек, екінші айда да бұрынғыдай, бір жұп болады; үшінші айда — 1+1=2; төртінші айда —  2+1=3(мұндағы екі жұптың біреуі ғана ұрпақ беретінін ескереміз); бесінші айда — 3+2=5 (үшінші айда туған жұп ұрпақ берді); алтыншы айда- 5+3=8 жұп (төртінші айда туған жұптар ғана ұрпақ береді)т.с.с.

«Бір жұптан жылына қанша ұрпақ тарайды»

айы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Қояндар жұбы 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 және сол сияқты сандар қатары Фибоначчи қатары болып табылытынын біз білеміз. Бұл қатардың ерекшелігі: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 және т.с.с. Осылайша n- айдан кейінгі жұптардың санын uk деп белгілесек, онда u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21 және т.с.с. және бұлар ортақ заңмен реттеледі:

un =un-1 + un-2 және  n >2.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …шыққан сан тізбегін жалғастырсақ,  Фибоначчи қатарын аламыз. Фибоначчи сандары — сандық тізбектің элементері  үшіншісінен бастап әрбір сан өзінің алдындағы екі санның қосындысы болып табылады. Орта ғасырдағы математик  Леонардо Пизанскидің атымен аталған.

Тізбектің қарапайым қасиеттері

1. Фибоначчидің алғашқы  n- санының қосындысы:

u1+u2+…+un=un+2 -1.

Фибоначчидің тақ нөмірлі сандарының қосындысы:

u1+u3+u5+…+u2n-1=u2n.

Фибоначчидің жұп  нөмірлі сандарының қосындысы:

u2+u4+…+u2n=u2n+1 -1.

Фибоначчидің алғашқы  n- санының квадраттарының  қосындысы:

 

Фибоначчи тізбегінде әрбір үшінші сан – жұп, әрбір төртіншісі 3ке бөлінеді, әрбір бесіншісі 5ке бөлінеді, әрбір он бесіншісі 10ға бөлінеді.

un+m=un-1um+unum+1 (*)

1) (*) формуласындағы  m=n болсын,     u2n=un-1un +unu n+1  немесе u2n=un(un-1+un+1) болғандықтан  un=un+1-un-1u2n =(un+1-un-1)(un+1+un-1)  немесе u2n=(un+1)2-(un-1).2 болады.

Ендеше Фибоначчи сандарындағы, реттік нөмірлерінің айырмашылығы екіге тең, екі санының квалраттарының айырымыда, Фибоначчи саны болады.

2) m=2n болсын  u3n=(un+1)3+(un)3-(un-1)3.Егер n – орнының нөмірі болса, онда

мынадай  және екі иррационал санның көмегімен, Фибоначчи қатарының кез келген мүшесін мынадай формуламен табуға болады.

Евклидтің шығармаларында «Бастамалар» (б.э.д.  300ж) геометриялық прогрессияға байланысты ауызша теорема бар, оны мынадай теңдікпен көрсетуге болады. [15]

1.4.Ертедегі Индия аңызы

Ертедегі Индияның  патшасы Шерам, шахматты ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны өзіне шақырып, осындай тамаша ойынды ойлап тапқаның үшін не сыйлайын деп сұрапты.

Сонда өнертапқыш,  патшадан шахмат тақтасының бірінші клеткасына

1 дән, екіншісіне – 2 дән, үшіншісіне  – 4, төртіншісіне – 8 және т.с.с.., яғни әр клеткаға, алдыңғыдағыдан екі есе артық дән салуын сұрапты.

Алғашында патша осыншалық аз сұранысқа таң қалады да, тезірек Сетаның өтінішін орындауды бұйырады.

Алайда патша сарайындағы «қор» бұл өтінішті орындауға қауқарсыз болып шығады.

Шын мәнінде бұл өтінішті орындау үшін, мына қосындыға тең дән керек еді 1 + 2 + 22 +.. + 263, ал бұл қосынды 18446744073709551615 ке тең. Егер1 пуд дән  40000 дәннен тұратынын ескерсек, өтініш орындалу үшін  230 584 300 921 369 пуд дән керек . Егер жылына   1 000 000 000 пуд дән жиналады деп ұйғарсақ,  өткізу керек (бір де бір дән шығын болмаған жағдайда).

Шахматты ойлап тапқаны үшін өнертапқыш,

S64=264-1=18446744073704551615  дән алар еді.

Барлық дән: 18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион73 миллиард (биллион) 709 миллион 551мың 615

Бұл санның стандарт түрі:      S 64 = 264 — 1 = 1,84 · 1019

[10]

Анализ школьттердіных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

2тарау. Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар

2.1. Арифметикалық прогрессия.

Анықтама. Екінші мүшесінен бастап, әрбір мүшесі өзінің алдындағы көршілес мүшеге бірдей тұрақты санды қосқанға тең болса, онда бұл тізбекті арифметикалық прогрессия деп атайды.

Әрбір арифметикалық прогрессияны былай жазуға болады: a, a+d, a+2d, a+3d, … және былай белгіленеді: ÷

Мысалы келесі параметрлермен берілген прогрессияны қарастырайық:

a1=1

d=2.

Мына түрдегі ÷1,3,5,7,9,12…  өспелі арифметикалық прогрессияны аламыз. Бұл прогрессияны графикте көрсетуге болады.

Графиктің түзу сызық болатынын көріп тұрмыз.

Егер параметрлерді a1=1,d=-2 деп өзгертсек, онда мына түрдегі  ÷1,-1,-3,-5,-7,-9… кемімелі арифметикалық прогрессияны алып, оныңда графигін саламыз.

Бұл графикте түзу сызық болады.

Арифметикалық прогрессияның қасиеттері

Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы:

an = a1 + d(n — 1)

Сонымен қатар арифметикалық прогрессияның екінші мүшесінен бастап, оның әрбір мүшесі өзімен көршілес екі мүшесінің арифметикалық ортасы на тең болады:  an =

Егер арифметикалық прогрессияның айырмасы d > 0 болса, онда прогрессия өспелі, егер d < 0 болса, онда прогрессия кемімелі болады.

Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің қосындысының формуласы:   Sn =  немесе  Sn=

2.2. Геометриялық прогрессия

Анықтама. Екінші мүшесінен бастап, әрбір мүшесі өзінің алдындағы көршілес мүшеге бірдей тұрақты нөлден өзгеше санңа көбейткенде шығатын   болса, онда бұл тізбекті геометриялық прогрессия деп атайды. Бірінші мүшесі де нөлден өзгеше.

Әрбір геометриялық  прогрессияны былай жазуға болады: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5

Мысалы келесі параметрлермен берілген прогрессияны қарастырайық:

b1=1

q=2,

Мына түрдегі 1,2,4,8,16,32…,өспелі геометриялық прогрессияны аламыз.

Бұл прогрессияны графикте көрсетуге

Біз графиктің парабола болатынын көреміз.

Егер параметрлерді b1=1

q=

деп өзгертсек, онда   кемімелі арифметикалық прогрессияны алып, оның да графигін саламыз. Геометриялық прогрессияның қасиеттері Геометриялық прогрессияның анықтамасынан  b2:b1 = b3:b2 = … = bn:bn-1 = bn+1:bn = … екенін көруге болады, шыққан сан геометриялық прогрессияның еселігі деп аталып, былай белгіленеді q. q = 1 болса онда тізбектің барлық мүшелері өзара тең болады және тұрақты геометриялық прогрессияны құрайды.

Кез келген геометриялық прогрессияның анықталған қасиеті бар. Бұл қасиет геометриялық прогрессияның берілу ережесі болып табылады.

 

Геометриялық прогрессияның n- мүшесін табу үшін формула бар:

.

Геометриялық прогрессияның  қосындысын табу үшін төмендегі формуланы пайдаланамыз

 

Берілген формуладағы bn нің орнына мәнін қойсақ  b1qn-1, геометриялық прогрессияның  қосындысының тағыбір формуласын аламыз:

 

Геометриялық прогрессияның тағы бір қасиеті бар: еселіктің анықтамасынан шығады b1bn = b2bn-1 = …, т.с.с. [1]

3тарау. Прогрессиялардың қолданыс аясы.

3.1. Геометриялық есептерді шешуде қолданылады.

Прогрессиялардың, ғылымның әр саласында,ауыл шаруашылығында,өнеркәсіпте , банктегі есептеулерде, табиғатта тарихи есептерде кездесуі.

Есеп №1

Шарты:

АВС үшбұрышының В  төбесінен BD биіктігі және  ВЕ биссектрисасыжүргізілген. ВЕС, АВD, АВЕ  және САВ бұрыштарының шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Үшбұрыштың  А төбесінен жүргізілген биіктігінің ұзындығын табу керек, мұндағы  АС=1 см.

Сызба:

Шешуі:                          

ВЕС=1

АВD=2

ABE=3

CAB=4 бұрыштары, көрсетілген ретпен  арифметикалық прогрессияны құрайды: ÷1,2,3,4

an = a1 + d(n — 1)(арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)

Сонымен біздің прогрессия мынадай түрде: ÷1,1+d,1+2d,1+3d.

АВЕ қарастырамыз.Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша былай болады

1=3+4 =>1=21+5d=>

1=-5d

ABD қарастырамыз.

BDA=90° =>4+2=90°( Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша) =>

1+2d=45°

Біз екі айнымалысы бар, екі теңдеу алдық, оны бір жүйеге жазамыз.

1=-5d           1=-5d           1=-5d     1=75°

1+2d=45°    -5d+2d=45° -3d=45°     d=-15°

Бұдан алатынымыз   2=60°, 3=45°, 4=30°

3-биссектриссасы   АВС бұрышыныңда (шарт бойынша)бұдан  В=90°,ал   АВ-  ВС қабырғасына түсірілген биіктік.

АВС – тік бұрышты, ендеше ВС=АС/2=0,5 см (30° бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның қасиеті бойынша).

АС2=АВ2+ВС2(  Пифагора теоремасы бойынша)

АВ2=АС2-ВС2

АВ2=1-0,25

АВ=

АВ=0,5см.

Жауабы: АВ=0,5см.

Есеп №2.

Шарты:   ABCDтрапециясының (AD— табаны)   АС және BD диагоналдары жүргізілген, олар О нүктесінде қиылысады.   AOB,ACB,ACD,BDC  және ADB шамалары көрсетілген ретпен арифметикалық прогрессияны құрайды. Трапецияның  AD табанын табу керек,егер АС=1.

Сызба:

Шешуі:    ADB,ACB,ACD,BDC,ADB бұрыштарын белгілейміз 1,2,3,4,5.

COD қарастырамыз: 4+3+1=180°(үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қасиеті бойынша)

an = a1 + d(n — 1)( арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша)

1+3d+1+2d+1=180°

31+5d=180° (1)

AODқарастырамыз:2+5+180°-1=180°

1+d+1+4d-1=0

1+5d=0 (2)

(1)  31+5d=180° — 1+5d=0

21=180°

1=90°

(2)1+5d=180°  90°+5d=180° d=-18°=>    2=72°

1=90°          1=90°             1=90°   3=54°

4=36°

5=18°

1=90° яғни трапеция тең бүйірлі.

ACD қарастырамыз: 4+5=3 бұдан ∆ACD тең бүйірлі,яғни AC=AD=1 см.

 

Жауабы:  AD=1 см.

Есеп №3

Шарты: Сүйір бұрыштың ішіне n дөңгелек сызылған. Осы дөңгелектердің радиустарының ұзындықтары геометриялық прогрессия құрайтынын дәлелдейік және геометриялық прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсетейік.

Сызба:

Шешуі:    Сүйір бұрыш – α болсын

Дөңгелектердің центрі арқылы өтетін түзу, α бұрышының биссектрисасы.

Дөңгелектердің радиустарын бұрыштың бір қабырғасына перпендикуляр болатындай етіп жүргізейік

Қабырға мен радиустардың қиылысу нүктелерін  А1234…Аn  деп белгілейміз.

tg = = = = =…= осылай жазуға болады (бұл қатынастар өзара тең себебі tg өзгеріссіз қалады.

Бұдан = = = =…== tg =k, яғни r1,r2,r3,r4…rn  геометриялық прогрессияны құрайды, q= tg.

Осыдан прогрессияның еселігі мен сүйір бұрыштың арасындағы тәуелділікті көрсеттік.

Жауабы:  q= tg.

Есеп №4

Шарты: Теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғасы а. Оның биіктігіне жаңа теңбүйірлі үшбұрыш сызылған. Жаңа үшбұрыштың биіктігіне тағы бір теңбүйірлі үшбұрыш сызылған және т.с.с. Осы үшбұрыштардың периметрлерінің және аудандарының қосындысын табайық.

Сызба:Шешуі: Қабырғасы а  болатын үшбұрышты ∆1деп, келесі үшбұрышты ∆2 деп және т.с.с белгілейік.

Теңбүйірлі ∆1 қабырғасы а және осыдан  Р=3а. Келесі ∆2 тың периметрін табу үшін,  ∆1тың биіктігін табамыз.   h2=a2-, h=h= , бұдан  а2=, Р=  Келесі ∆3 тың периметрін табу үшін,  ∆2тың биіктігін табамыз.

 

геометриялық прогрессия құрайды деп ұйғарайық, сонда бұдан біздің ұйғарым дұрыс екенін көреміз.

Үшбұрыштардың периметрлерінің қосындысын мына формуламен табамыз

Үшбұрыштардың аудандарын мына формуламен табамыз, , , ,

;; геометриялық прогрессия құрайды деп ұйғарайық, сонда q=:, q=:=, бұдан біздің ұйғарым дұрыс екенін көреміз.

Үшбұрыштардың аудандарының қосындысын  мына формуламен табамыз

, ,

Жауабы:,. [6]

3.2. Өнеркәсіптегі прогрессия.

Есеп №5

Құдықтың ең төменгі темірбетон сақинасын дайындап, орнату үшін    26(ш.б). Ал әрбір келесі сақинаға, алдыңғыға қарағанда 2(ш.б) кем төленді. Сонымен бірге жұмыс аяғында тағыда   40 (ш.б). Сақиналарды дайындау және орнатудың орташа бағасы 22 және 4/9 (ш.б). Неше сақина орнатылды?

Шешуі:  а1=26, d=-2.

Есеп №6

Еркін құлаған дене бірінші секундта 5м, ал әрбір келесі секундта 10м артық жүрді. Егер дене шахта түбіне 5с жеткені белгілі болса, шахтаның тереңдігі қандай?

Шешуі: а1=5, d=10. а51+4d; а5=45.

S5=(a1+a5)·n:2; S5=(5+45)·5:2=125;

Шахтаның тереңдігі 125м.

Жауабы: 125м.

Есеп №7  Ормандағы бөренелерді сақтау үшін суреттегідей етіп қалайды. Табанына 12 бөрене қаланған үйіндіде неше бөрене бар?

Шешуі: 1, 2, 3, 4,…,12. Бұл арифметикалық прогрессия, а1=1, d=1,аn=12.

Табу керек: n.

аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12. Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)·12:2; Sn=78.                                      Бір үйіндіде 78 бөрене.

Жауабы: 78 бөрене. [12]

3.3. Биологиядағы прогрессиялар.

Бактериялардың белсенді көбеюін пайдаланады: тамақ өнеркәсібінде (сусындар, сүт тағамдарын, тұздауда т.с.с), фармацевтика  өнеркәсібінде ( дәрі және вакциналарды даярлауда), ауыл шаруашылығында ( силос, әр түрлі мал жемдерін даярлауда), коммуналды шаруашылықтарда және табиғатты қорғау іс – шараларында (тұрып қалған суларды тазалауда, мұнай қалдықтарыныңзардаптарын жойғанда). в коммунал

ьномЕсеп №8

Барлық организмдер геометриялық прогрессиядағыдай белсенді көбейеді. Кірпікшелі кебісше… Жазда кірпікшелі кебісше қаққа бөліну әдісімен көбейеді. 15-рет көбейгеннен кейіні кірпікшелі кебісшелердің саны қаншаға өсетініне көңіл бөліп көрелік.

Шешуі:

b15 = 2·214 = 32 768

Әрбір түрдің өсуі шектелмесе, ол геометриялық прогрессияға сәйкес өседі;

Осы түрдің өсуін көрсететін қисықты экспоненто деп атайды.

Бактериялар бөліну арқылы көбейетіні белгілі: бір бактерия екіге; осы бактериялардың әр қайсысы өз кезегінде екіге бөлінедіде, төрт бактерия пайда болады; ал осы төрт бактериядан бөліну нәтижесінде тағыда сегіз бактерия пайда болады т.с.с.

Бактериялардың көбею қабілеті өте жоғары, егер олар әр түрлі жағдайларға байланысты өлмеген болса, үздіксіз көбейе берсе, үш тәулікте бір бактерияның ұрпақтарының  салмағы 7500тн болған болар еді. Мұнша үлкен бактериалар санымен 375 теміржол вагонын толтыруға болар еді. [11]

Есеп №9

Бактерия адам ағзасына түскеннен кейін, 20- минутта екіге,олардың әр қайсысы келесі 20- минутта екіге т.с.с бөлінеді. Адам ағзасында тәуліктің аяғында қанша бактерия пайда болатынын есептейік. [13]

Шешуі: Тәулікте 1440 минут, әр жиырма минутта жаңа ұрпақ пайда болады- бір тәулікте 72 ұрпақ. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы бойынша, мұндағы

b1=1, q=2, n=72, сонда  S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 — 1=

= 4 722 366 482 869 645 213 695.

Барлық бактерия саны:  4 септиллион 722 сектиллион 366 квинтиллион 482 квадриллион 869 триллион 645 миллиард 709 миллион 213 мың 695

Есеп №10

Бақ-бақтар 1 кв. метр жерді алып жатыр және ол жылына 100 ұшатын ұрық береді.

а) Егер осы бақ-бақ 10 жыл бойы геометриялық прогрессия заңдылығымен көбейсе қанша кв. км ауданды жабар еді?

б) 11жылда ол жер шарындағы құрлықты жабар ма еді?

Жауабы: а) [1012 км2], б) [жоқ, Sқұрлық= 148 млн км2] [14]

 3.4. Прогрессияның банктердегі есептеулерде қолданылуы

Банкідегі есептеулер:

Сіз банкіге атг салым салдыңыз, t  жылға р% бен. Сізде екі мүмкіндік бар:

жыл аяғында салымның өсімін алып отыру, яғни            тг алу немесе келісім шарт біткен соң бірақ алу. Екі жағдайдағы пайдаңызды есептейік.

Бірінші жағдайда  t = 1 сізтг., t = 2 сіздің қорытынды ақшаңыз

    тг., t = тг. және т.с.с.. Жағдайдың математикалық моделі  —  арифметикалық прогрессия,

Сонымен бірінші жағдайда t жылда алатыныңыз:              — бұл қарапайым проценттердің формуласы.

Егер сіз келісім шарт біткен соң келсеңіз, онда t = 1 болғанда алатын ақшаңыз, бірінші жағдайдағыдай                 тг; салымның мөлшері

есе артады. Әр жыл сайын осынша өсіп отырады.

Жағдайдың математикалық моделі  —  шектеулі геометриялық  прогрессия

Сонымен , екінші жағдайда сіз t жылда төмендегідей мөлшерде ақша аласыз.

тг..— бұл күрделі проценттің формуласы.

Нақты мысалды қарастырайық:

Салым 10 000 тг., банк жылдық өсімін 10% берсін, салым — 5 жылға салынсын. Егер сіз қарапайым процент стратегиясын таңдасаңыз, 5 жылда                         тг,

яғни 15 000 тг. Егер күрделі процент стратегиясын таңдасаңыз, онда

, яғни 16 105,1 тг.

Енді таңдау сізден болсын. [9]

3.5. Қиял ғажайып есебіндегі прогрессия.

Сыйқырлы ағаш , алғашқы ұзындығы 1 м, әр күн сайын 2 есе ұзарады.

Осылайша 36 күнде айға жетеді. Ағаштың алғашқы ұзындығы 8 м болса, ол айға неше күнде жетер еді?

Сыйқырлы ағаш тың ұзындығы 36 күнде  – 236м болды деген сөз.

Егер алғашқы ұзындығы 8м болса, онда  8·2n=236;  23·2n =236; 2n =236; n=33.

Жауабы: 33 күннен кейін ағаш айға жетер еді. [1]

3.6.Орыс әдебиетіндегі прогрессия

«Евгения Онегиннің» өлең жолдарынан.

«…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…».

Ямб – бұл жұп буындарға екпін түсіру: 2; 4; 6; 8;…буындар нөмірі арифметикалық прогрессия, алғашқы мүшесі 2 жәнепрогрессиның айырмасы да 2.

Хорей – бұл тақ буындарға екпін түсіру. буындар нөмірі арифметикалық прогрессия, алғашқы мүшесі 1 және  прогрессиның айырмасы 2.

Мысалы.

Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7

Қорытынды

Бұл  ғылыми жобада  тізбектерді таңдап алған себебім, 5-6 сыныптарда өткен «Қызықты математика» курсында, қарапайым сандардың орналасу заңдылықтары мені және менің сыныптастарымды өте қызықтырды. Сандар тізбегінің алуан түрлі орналасуы мені көп ойландыра бастады. Сол кезден бастап сан тізбектерін зерттей бастадым. Сандардың орналасу заңдылықтарын зерттей келе мектеп курсында, «Прогрессиялар» деген үлкен тарау барекенін білдім және оқып үйрендім.

Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?

Бідің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай? деген сұрақтар  ашық                             тұрды.  Сол  сұраққа  жауап   алу   үшін   ғылыми  әдебиеттердегі   осы  тақырыпқа байланысты  материалдарды   зерттедім.   Зерттеу  барысында   сан қатарларының шығу  тарихына  тоқталдым. Жұмысымды үш үлкен тарауға бөліп, жүйеледім.

Ғылыми әдебиеттерге шолу тарауының,

Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар.

Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер

Фиббоначчи қатары

Ертедегі Индия аңызы, атты тараушаларда негізінен ғылыми әдебиеттерден алынған материалдар жинақталды.

Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар тарауында,қазіргі заманғы оқулықтарды қолдану арқылы,

Арифметикалық прогрессия

Геометриялық прогрессия тараушаларында прогрессияларға анықтама беріп, мектеп курсында қарастырылатын формулаларды бердім.

Прогрессиялардың қолданыс аясытарауының материалдары, негізінен ғаламтордан алынды.

Геометриялық есептерді шешуде қолданылады

Өнеркәсіптегі прогрессия

Биологиядағы прогрессиялар

Прогрессияның банктердегі есептеулерде қолданылуы

Қиял ғажайып есебіндегі прогрессия тараушаларында, әр түрлі есептерді талдап, шығарылу жолдарын көрсеттім.

Әлі де зерттеуді жалғастырып, болашақта өмірімді ғылым мен байланыстырғым келеді.


Пайдаланылған әдебиеттер

1.     Шыныбеков Ә.Н.

Ш97 Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған

оқулық.    Алматы: Атамұра, 2005. 82-122 б.;

2.     Құрмет Қабдықайыр Жоғары математика.Алматы. «Қазақ университеті» 2006. 247-263б

3.     Т.Қ. Оспанов. Математика /Оқу құралы/ 2000.

4.     Математика ғалымдарының өмірі мен ғылыми еңбектері. Москва.: Просвещение,1976. 56,98,217,265 б.

5.     Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 б.;

6.     Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.:Просвещение, 2009. – 271 б.;

7.     Математика. Алгебра.Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2000,-352б.;

8.     Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352б..

9.     http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

10. http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op

11. http://festival.1september.ru/articles/568100/

12.Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений

/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224б :

13.Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных

учреждений/Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224с.(с.100)

14. Алгебра. 9 класс,: Учебник для общеобразовательных учреждений/

Макарычев Ю.Н., Миндюк

15. Н.Г., Суворова С.Б. . -М.: Просвещение, 2009, -27ёс.(с. 152)

Добавить комментарий

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.