математика

Қызылорда облысы Байқоныр қаласы

К.Э.Циолковский атындағы № 2

жалпы білім беретін орта мектеп

Математика пәнінің мұғалімі

Сарсенбаева  Турсынкуль  Алипбаевна

Педагогикалық өтілі:  27 жыл

Санаты:  1- ші санатты

 

 

Ауызша есептеудің тәсілдері.

 

Мектепте матматиканы оқытудағы міндеттердің бірі – түрлі есеп-қисап жұмыстарын тез орындауда қажет болатын шеберліктер мен дағдыларға оқушыларды қалыптастыру болып табылады. Есептеу жұмыстарын оны орындауға қолданатын әдісіне және берілген шама мен ізделетін шаманың сипатына қарап әр түрге бөлуге болады. Қолдантын әдісіне қарай есептеудің үш негізгі түрі бар: ауызша есептеу, жазбаша есептеу, және көмекші құралдар қолдану арқылы есептеу. Математиканы жақсы білуге, есептеу мәдениетін арттыруға көмектесетін жұмыстардың бірі математика сабақтарындағы ауызша есептеу болып табылады. Жаттығуларды ауызша орындау оқушылардың математикалық түсініктердің, анықтамалардың, теоремалардың және түрлендірулердің мәнін анық түсініп, пәнді неғұрлым саналы меңгеріп алуға көмектеседі. Сонымен қатар, ол жаттығулар оқушылардың байыптылығын, тапқыштығын, инициативасын арттыруға көмектеседі, пәнге деген ынтасын туғызады. Сондықтан да оқушылар ауызша есептеудің көптеген тәсілдерін жақсы меңгерулері қажет. Осыған орай, ауызша есептеулерді тез және саналы орындауға көмектесетін тәсілдерді қарастырайық.

 

Көбейткіштерді өзгерту тәсілдері.

Егер көбейткіштердің біреуін бірнеше есе арттырып, екіншісін сонша есе кемітсе, онда көбейтінді өзгермейді.

37*8

Бірінші көбейткішті екі есе өсіріп, екіншісін екі есе кемітсе , сонда 378=744=148*2=296

34*18

Бірінші көбейткішті үш есе арттырып, екіншісін үш есе кемітсе , сонда 3418=1026=306*2=612

Гаусс әдісімен көбейту.

Кез келген бүтін екі санды көбейтуде оның біреуін 5, 2, 1 және осы цифрлармен нолдер арқылы жазылған сандардың қосындысы, айырмасы түрінде өзгертуге болатындығын белгілі математик Гаусс аңғарған.

Мысалы: 45*31

45 санын (50-10+5) немесе 31 санын (50-20+1) деп өзгертуге болады. Бірақ екі санның біреуін ғана түрлендіреміз. Сонда

4531=(50-10+5)31=1550-310+155=1395 немесе

4531=45(50-20+1)=2250-900+45=1395

5; 50; 0,5 –ке көбейтуде көбейткіштерді өзгертуді алдыңғы бірінші жағдайға келтіруге болады.

Мысалы:

1385=5*2==690

Егер санды 5-ке көбейту керек болса, онда сол санды 10-ға көбейтіп, 2-ге бөлеміз.

Егер санды 50-ге көбейту керек болса, онда сол санды 100-ге көбейтіп 2-ге бөлеміз

117*50==5850

Егер санды 0,5-ке көбейту керек болса, онда сол санды  2-ге бөлу керек.

468*0,5==234

25; 2,5; 0,25 –ке көбейту

Мұнда да көбейткіштерді өзгертеміз: 25-ті  түрінде жазамыз, яғни санды 25-ке көбейту үшін оны 100-ге көбейтіп, көбейтіндіні 4-ке бөлу керек.

 

125; 12,5; 1,25; 0,125-ке көбейту.

Мұнда да көбейткіштерге өзгеріс енгізіледі. Санды 125-ке көбейту үшін сол санды 1000-ға көбейтіп, көбейтіндіні 8-ге бөлу керек.

Мысалдар:

128125=1281000/8=128000/8=16000

1612,5=16100/8=1600/8=200

321,25=3210/8=320/8=40

32,8*0,125=32,8/8=4,1

11-ге көбейту

Кез келген санды 11-ге көбейткенде сол санның қатар тұрған цифрларына  байланысты екі жағдай ескеріледі.

1) Берілген санның қатар тұрған цифрларының қосындысы 10-нан кем жағдайы. Мұнда көбейтіндінің 1-ші цифры көбейтіндінің 1-ші цифрына, көбейтіндінің соңғы цифры көбейткіштің соңғы цифрына , ал көбейтіндінің ортаңғы цифрлвры көбейткіштегі көрші тұрған цифрлардың қосындысына тең болады.

Мысалы:

2634*11=28974

2) Берілген санның қатар тұрған цифрларының қосындысы 10-ға тең немесе 10-нан артық жағдайы. Мұнда көбейтіндінің цифрларын орналастыру соңғы цифрлардан басталады және алынған қосындының бірінші цифры келесі қосындыға қосылып отырады.

Мысалы:

57*11

Шешуі: 1) 7-(көбейтіндінің соңғы цифры)

2) 7+5=12 (2 соңынан алынған 2-ші цифр, 1-ойда)

3) 5+1 (ойдағы)=6 (көбейтіндінің бірінші цифры)

Демек,  57*11=627

 

5; 50; 0,5-ке бөлу

Егер бөлінгішті де бөлгішті де бірдей санға көбейтсе, онда бөлінді өзгермейді

Мысалы: 365/5 бөлінгішті де бөлгішті де 2-ге көбейтеміз

365/5=

Демек, сонда 5-ке бөлу үшін, оны 2-ге көбейтіп, көбейтіндіні 10-ға бөлу керек.

Мысалы:

425/50=425*2/100=9,5

271/0,5=271*2=542

25; 2,5; 0,25- ке бөлу

25-ке бөлу үшін, сонда 4-ке көбейтіп, көбейтіндіні 100-ге бөлу керек

Мысалдар:

725/25=

315/2,5=315*4/10=126

114/0,25=114*4=456

 

Қысқаша есептеудің жекелеген тәсілдері.

Дөңгелек сан мен оған жақын санның айырымы тоықтауыш сан деп аталады. Мысалы, С-дөңгелек санына жақын А және В екі санын көбейту керек босын. Осы А және В сандарын дөңгелек С санына дейін толықтыратын толықтаыштар а және в делік. Сонда А+а=С, бұдан А=С-а, В=С-в. Енді А мен В –ның көбейтіндісін есептейміз

А*В=(С-а)(С-в)=С²-Са-Св+ав=С(С-а-в)+ав=(А+а)(В-а)+ав (1) формуласымен жазуға болады.

 

100 және 100 сандарынан кіші сандардың көбейтіндісі

Мысалы: 86*95

95=100-5; 86+14=100 яғни 86=100-14

(1) Формула қолданамыз,  сонда

8695=(86+14)(95-14)+514=10081+70=8100+70=8170

Осы мысалды басқаша да есептеуге болады.

86-толықтауышы 14

95– толықтауышы 5

8170

1) толықтауыштарды көбейтеміз 14*5=70, бұл көбейтіндінің соңғы екі цифры

2) 86-5=81 немесе  95-14=81

3) 81*100=8100

4) 8100+70=8170

 

Кез келген дөңгелек екі орынды немесе үш орынды санға

жақын сандарды көбейту.

Мысалы: 47*38                                         495    *    474

47 – толықтауышы -3                               495 _____5

38 – толықтауышы 12                               474 _____ 26

 

1) 3* 12 = 36                                           1) 5*26 = 130

2) 47 – 12 = 35 немесе 38 – 3 = 35           2) 495 – 26 = 469 * 474 – 5 = 469

3) 35 * 50 = 1750                                      3) 469 * 500 = 234500

4) 1750+36 = 1786                                   4) 234500 + 130 = 234630

 

100 – санынан үлкен сандарды көбейту

   100 * 109           Осы екі санға жақын дөңгелек сан 100, соған сәйкес толықтауыштары теріс сандар болады.

 

100 – 108 = -8;

100 – 109 =- 9;                  формула бойынша

 

108 * 109 = (108 + (-8)) * (109 – ( – 8)) + ( – 8) * ( – 9) = 100 * 117 + 72 = 11772

 

Толықтауыштары бірдей (біреуі теріс, біреуі оң) сандар

болатын екі санды көбейту.

215 * 185        Екі санға жақын дөңгелек сан  – 200

200 – 215 =  – 15;

200 – 185 = 15 ;               формула бойынша

(215 + ( – 15)) * ( 185 – (-15)) + ( – 15) * 15 = 200 * 200 – 225 = 40000 – 225 = 39775

 

Егер кіші санды А, үлкен санды В, толықтауыштарын а деп белгілесек онда

А +   а = С, В – а = С   болады.

Бұдан     А = С – а ,  В = С+ а

Сонда     А * В = (С – а) (С + а) = С² + а². , бұл өзімізге белгілі қысқаша көбейту формуласы.

 

Жиырма көлемдегі екі таңбалы сандарды көбейту.

 

18 * 15 = ( 18 + 5) * 10 + 40 = 230 + 40 = 270

13 * 16 = 19 * 10 + 18 = 208

15 * 16 = 210 + 30 = 240

 

Мұнда бірінші көбейткішке екінші көбейткіштің бірлігі қосылып 10 – ға көбейтіледі де оған берілген екі санның бірліктерінің көбейтіндісі қосылады. Барлық есептеулер онда оңай жүргізіледі.

Оқушыларға әсіресе осы тәсіл бойынша санды квадрат дәрежеге шығару өте ұнайды.

 

Ондықтарының цифрлары бірдей, ал бірліктерінің цифрларының қосындысы 10 – ға тең сандарды көбейту.

 

38 * 32 = ( 38 + 2 ) (32 – 2) + 2 * 8 = 40 * 30 + 16 = 1216

Осы жағдай ауызша есептеуде бұдан да жеңілірек түрде былайша түсіндіріледі: ондықтарды көрсететін ортақ цифрдың біреуін бірлігі артық бір цифрмен көбейтіп, сол көбейтіндінің  оң жағына берілген көбейткіштердің бірліктеріндегі цифрлардың көбейтіндісі.

73 * 77 = 70 * 80 + 21 = 5621

36 * 34 = 30 * 40 + 24 = 1224

 

Бұл тәсіл оқушыларға өте ұнайды, өткені амал өздігінен орындалғандай болады. көбейтудің бұл тәсілі соңғы цифры 5 болып келетін екі таңбалы сандарды квадрат дәрежеге шығарғанда оқушыларға өте ұнайды. Бұл жағдайда санның квадраты бірден жазылады.

65² = 4225

15² = 225

35² = 1225

45² = 2025

 

Жиырма көлеміндегі екі таңбалы сандарды көбейту мен осы тәсілді бірлестіре қолдану кейбір үш таңбалы сандарды оңай көбейтуге мүмкіндік береді.

134 * 136 = 18224, мұнда 6 * 4 = 24 соңғы екі цифры

193 * 197 = 38021

 

Санның квадратын табу.

   А санының квадратын табу үшін де (1) формула қолданылады. Бірақ ондағы А және В сандары оған сәйкес толықтауыштары да өзара тең болады:

А=В, а=в.        сонда (1) формула

А * А = (А +а ) ( А – а) + а * а   немесе   А²  = ( А+ а) ( А – а) + а²    (2)

түрінде болады.

 

92² = ( 92 + 8 ) ( 92 – 8) + 8² = 100 * 84 + 64 = 8464

485² = ( 485 + 15 ) (485 – 15) + 15² = 500 * 470 + 225 = 235000 + 225 = 235225

 

50 маңындағы сандарды квадрат дәрежеге шығаруда мынадай да тәсілдер қолданылады.

 

48² = (48 – 25 ) * 100 + 4 = 23 * 100 + 4 = 2304

62²  = (62 – 25 ) * 100 + 144 = 3700 + 144 = 3844

мұнда берілген санды 25- ке азайту керек те, оны 100- ге көбейтіп, оған берілген санның 50- ге дейінгі толықтауышының квадратын қосу керек.

N = 50 ± а

N² = (50 ± а)² = 2500 ± 100 а + а² = 100 * (25 ± а) + а² =

100 * ( N – 25) + а²

 

100 маңындадағы санды квадрат дәрежеге шығару

    Бұл жағдайда дәрежеленетін санды екі еселеп шыққан көбейтіндіден 100-ді алып тастау керек; бұл ізделетін квадраттың жүздіктерін береді: содан соң нәтижеге 100-бен берілген санның арасындағы айырманың квадратын қосу ғана калады.

 

86² = (172 – 100) *100 + 196 = 7200 + 196 = 7396

121² = (242 – 100) * 100 + 44) = 14200 + 441 = 14641

 

Оқушыларды ынталандырып, талаптандыратын мысалдар, әрине, жоғарыда айтылғандар ғана емес. Ондай мысалдарды математиканың қай тарауларынан болса да табуға болады. Тек мұғалімде өз ісінің жемісті болуын көздейтін шын ниет пен шығармашылық инициатива болуы керек. Мұндай жұмыстың пайдасы сол, нақтылы мысалдардан көріп отырғанымыздай, математиканы оқытудың теориялық дәрежесі, сөз жоқ, жоғарылайды, оқушыларды өздігінен жұмыс істеуге дағдыландырады, оқушыларды математикаға және оның практикада пайдаланылуы қызықтырады, сонымен қатар олардың жалпы математикалық мәдениеті артады.

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

 

1. «Алгорифм» – физика – математикалық журнал № 5 – 2003   Алматы

2. «Информатика – физика – математика» № 6 – 2000      Алматы.